高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题4 [70分] 解答题标准练4(1)

这是一份高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题4 [70分] 解答题标准练4(1)，共7页。试卷主要包含了249>7，已知椭圆C，已知函数f＝|2x＋a|等内容，欢迎下载使用。
[70分] 解答题标准练(四)1.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos(2B＋2C)＋3cos A－1＝0，且△ABC的外接圆的直径为2.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为2，求△ABC的周长；(3)当△ABC的面积取最大值时，判断△ABC的形状.解　(1)由题意知2A＋2B＋2C＝2π，所以cos(2B＋2C)＋3cos A－1＝cos 2A＋3cos A－1＝0，即2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝－2(舍去)或cos A＝.又0<A<π，所以A＝.(2)由题意及正弦定理得＝2，所以a＝2sin ＝.因为△ABC的面积S＝bcsin A＝2，所以bc＝8，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24＝3，所以b＋c＝3，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝＋3＝4.(3)由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccos A≥bc，当且仅当b＝c时等号成立，所以S＝bcsin A＝bc≤×3＝，当且仅当b＝c时等号成立，故当△ABC的面积取最大值时，b＝c，又A＝，所以△ABC为等边三角形.2.如图，在平面多边形ABFCDE中，四边形ABFE是边长为2的正方形，四边形DCFE为等腰梯形，G为CD的中点，且DC＝2FE，DE＝CF＝EF，现将梯形DCFE沿EF折叠，使平面DCFE⊥平面ABFE.(1)求证：EG⊥平面BDF；(2)求平面GEB与平面CBF所成锐二面角的余弦值.(1)证明　连接GF，由已知得DG∥EF，DG＝EF，∴四边形DEFG为平行四边形.又DE＝EF，∴平行四边形DEFG是菱形，∴EG⊥DF.∵平面DCFE⊥平面ABFE，平面DCFE∩平面ABFE＝EF，BF⊥EF，BF⊂平面ABFE，∴BF⊥平面DCFE.又EG⊂平面DCFE，∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF，DF⊂平面BDF，∴EG⊥平面BDF.(2)解　取EF的中点O，连接GO，则GO⊥平面ABFE，过点O在平面ABFE内作EF的垂线，交AB于点H，则以OH，OF，OG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，－1,0)，B(2,1,0)，F(0,1,0)，G(0,0，)，∴＝(2,2,0)，＝(0,1，)，＝(2,0,0)，＝＝(0,1，).设平面GEB的法向量为m＝(x，y，z)，则即取x＝，则y＝－，z＝1，则m＝(，－，1)为平面GEB的一个法向量.设平面CBF的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则即x′＝0，取y′＝－，则z′＝1，则n＝(0，－，1)为平面CBF的一个法向量.∴cos〈m，n〉＝＝＝.∴平面GEB与平面CBF所成锐二面角的余弦值为.3.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087321545女546463055总计1512137845100 (1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望.附公式及表如下：K2＝.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 解　(1)由表格数据可得2×2列联表如下： 非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计男252045女154055总计4060100 将列联表中的数据代入公式计算，得K2＝＝＝≈8.249>7.879.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P＝1－4－4＝.②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X＝300Y.由题意得Y～B，P(Y＝0)＝C04＝；P(Y＝1)＝C13＝；P(Y＝2)＝C22＝＝；P(Y＝3)＝C31＝；P(Y＝4)＝C40＝.所以Y的分布列为Y01234P 所以X的分布列为X03006009001 200P 由E(Y)＝4×＝，得X的数学期望E(X)＝300E(Y)＝400.4.已知椭圆C：＋＝1，动直线l过点A(0,1)且与椭圆C交于P，Q两点.(1)求弦PQ的中点M的轨迹方程；(2)设O为坐标原点，问是否存在常数λ，使得λ·＋·为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解　(1)当直线l的斜率不存在时，易知点M(0,0).当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x，y)(y≠0).由得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0恒成立，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以x＝＝－，①y＝k·＋1＝，②①②两式联立，得x2＋2y2－2y＝0(y≠0).又(0,0)适合上式，故弦PQ的中点M的轨迹方程为x2＋2y2－2y＝0.(2)当直线l的斜率存在时，由(1)知λ·＋·＝λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＋x1x2＋y1y2＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2，所以当λ＝1时，－－λ－2为定值－3.当直线l的斜率不存在时，易知λ·＋·为定值－λ－2，当λ＝1时，－λ－2＝－3.综上，存在常数λ＝1，使得λ·＋·为定值－3.5.已知函数f(x)＝－aln x.(1)当a＝－e时，讨论函数f(x)的单调性；(2)讨论函数f(x)的零点个数.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－e时，f′(x)＝－＝＝·.设h(x)＝，x>0，则h′(x)＝＝，令h′(x)>0，则x>1，令h′(x)<0，则0<x<1，所以h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以h(x)有最小值h(1)＝e，所以h(x)≥h(1)＝e，即－e≥0在(0，＋∞)上恒成立.令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0<x<1，因此f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.(2)f′(x)＝＋＝·，由(1)知，－e≥0，若a≥－e，则＋a≥－e≥0，令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0<x<1，因此f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝e＋a.当a>－e时，f(x)min＝e＋a>0，f(x)无零点，当a＝－e时，f(x)min＝e＋a＝0，f(x)只有一个零点.若a<－e，根据(1)知，方程＋a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且0<x1<1<x2，当0<x<x1时，＋a>0，当x1<x<x2时，＋a<0，当x>x2时，＋a>0.因此当0<x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<1时，f′(x)>0，当1<x<x2时，f′(x)<0，当x>x2时，f′(x)>0，故f(x)在(0，x1)和(1，x2)上是减函数，在(x1,1)和(x2，＋∞)上是增函数，由于f(x)＝－aln x＝，当x→0＋时，ex＋ax2－axln x>0，f(x)>0；当x→＋∞时，ex＋ax2>0，－axln x>0，f(x)>0；又f(1)＝a＋e<0，所以f(x)有两个零点.因此，当a>－e时，f(x)无零点，当a＝－e时，f(x)只有一个零点，当a<－e时，f(x)有两个零点.6.在平面直角坐标系xOy中，点P，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.解　(1)由ρ2＝，得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，令ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，得x2＋y2＋y2＝2，即＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.(2)将(t为参数)代入＋y2＝1，得＋2＝1，整理得t2＋t－＝0，设点A，B对应的参数值分别为t1，t2，则t1t2＝＝－，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.7.已知函数f(x)＝|2x＋a|.(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥x＋5；(2)若a>0，b>0，g(x)＝f(x)＋2|x－b|的最小值为1，证明：a3＋8b3≥.(1)解　当a＝1时，f(x)＝|2x＋1|≥x＋5，即或解得x≥4或x≤－2，所以原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥4}.(2)证明　由题意得g(x)＝f(x)＋2|x－b|＝|2x＋a|＋|2x－2b|≥|2x＋a－2x＋2b|＝a＋2b，当且仅当－≤x≤b时等号成立，所以a＋2b＝1.则(a＋2b)3＝1＝a3＋8b3＋6ab(a＋2b)＝a3＋8b3＋6ab≤a3＋8b3＋3×2＝a3＋8b3＋，即1≤a3＋8b3＋，所以a3＋8b3≥，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以a3＋8b3≥.