高中数学高考第1讲 三角函数的图象与性质（解析版）

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第1讲 三角函数的图象与性质高考预测一：根据解析式研究三角函数的性质 类型一 化为形式1．已知向量，，，向量，设函数．（1）求的最小正周期；（2）求在，上的最大值与最小值；（3）若，且，；求的值域．【解析】解：向量，，，向量，函数；（1）；（2），，；，；当即时，取最小值：；当即时，取最大值：．（3）令，由（2）可得，；所以问题转化为求在，上的值域；又因为时，取最小值；时，．即的值域为：，．2．已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．【解析】解：（1），则．（2）的最小正周期为．令，，得，．故函数的单调递增区间为，．3．已知函数．（1）求的定义域与最小正周期及对称轴；（2）求函数在上的值域；（3）讨论在区间上的单调性．【解析】解：（1），，即函数的定义域为，则，则函数的周期，对称轴为；（2），当，时，，，，，函数的值域为；（3）由，得，即函数的增区间为，当时，增区间为，，此时，由，得，即函数的减区间为，当时，减区间为，，此时，即在区间上，函数的减区间为，增区间为．4．已知函数．（1）求的值；（2）求的最大值和最小值，并求当取何值时，取得最大值．【解析】解：（1）（2），当时，的最大值是6；当时，函数取得最小值是．且当即时，取得最大值．类型二：二次函数型5．设函数．（1）当时，用表示的最大值（a）；（2）当（a）时，求的值，并对此值求的最小值．【解析】解：（1）当时，．当时，即时，在取最大值，（a）当时，即时，在取最大值，（a）当时，即时，在取最大值，（a）综上所述（a）（2）（a）时，由（1）解得或当时，，当时，．当时，，当时，．6．已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由，，函数的最小正周期为，由，得：，，故函数的对称轴方程为：，，（2）由得，当，时，，，由图象得，函数的最大值为，要使方程在，上有两个不同的解，则在，上有两个不同的解，即函数和在，上有两个不同的交点，即，即．高考预测二：利用图象和性质求解析式类型一：图象型7．已知函数，，的一段图象如图所示，（1）求振幅和周期；（2）求函数的解析式；（3）求这个函数的单调递增区间．【解析】解：由图象可知：振幅，周期，（2）由图象可知：，，函数，又点，在图象上，，，所求函数解析式为：．（3）由，．可得：，函数的单调递增区间为，，．8．已知函数的图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，设，求函数在，上的最大值．【解析】解：（1）由题意可得，最小正周期，则，由，又，可得，所以．（2）由题意可知，所以，由于，，可得：，，可得：．9．已知函数（其中，，，的部分图象如图所示．（1）求，，的值；（2）已知在函数图象上的三点，，的横坐标分别为，1，3，求的值．【解析】解：（1）由图知，．（1分）的最小正周期，所以由，得．（4分）又且，所以，，解得．（7分）（2）因为，（1），（3），所以，，，设，（9分）在等腰三角形中，设，则．（11分）所以．（13分）类型二：性质型10．设，其中．（1）当时，求函数的值域；（2）若在区间，上为增函数，求的最大值．【解析】解：（1），其中．化简可得：当时，函数根据三角函数的图象和性质可得：的值域的值域为，．（2）由（1）可得解得：，故得函数的增区间为：，．在区间，上为增函数，故：且，解得：且，．当时，满足题意，此时．故得的最大值为．11．设函数，且图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为．（1）求的值；（2）求在区间，上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的的值．【解析】解：（1）  （2分），（4分）因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，可得周期，又，因此．（6分）（2）由（1）知，（7分）当时，，，，，（8分）故在区间，上最大值和最小值分别为，．（10分）当，即时，取最大值．（11分），取最小值．（12分）12．已知函数，是上的偶函数，其图象关于点，对称，且在区间，上是单调函数，（1）求和的值；（2）已知对任意函数满足，且当时，，试求：．【解析】解：（1）解：由是偶函数，得，即，所以，对任意都成立，且，所以得．依题设，所以解得，由的图象关于点对称，得，取，得，，，又，得，，1，2，3，，，1，2，当时，，在，上是减函数，满足题意；当时，，，在，上是减函数，满足题意；当时，，在，上不是单调函数；所以，综合得或2．（2）由（1）得，，又对任意函数满足，且当时，，由题意可得函数图象关于对称，即有，，从而解得：或，即是整数，由（1）可得，，．高考预测三：图象变换13．已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于的方程在，内有两个不同的解，．①求实数的取值范围；②请用的式子表示．【解析】解：（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，从而函数图象的对称轴方程为．（2）①（其中，依题意，在区间，内有两个不同的解，，当且仅当，故的取值范围是，．②因为，是方程在区间，内的两个不同的解，所以，．当时，，即；当时，，即；所以．14．设函数，其中，已知．（1）求的最小正周期；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间，上的最小值．【解析】解：（1）函数，又，，，解得，又，，的最小正周期；（2）由（1）知，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数；当，时，，，，，当时，取得最小值是．15．某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：0   05 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．【解析】解：（1）根据表中已知数据，解得，，．数据补全如下表：00500且函数表达式为，（2）由（1）知，，得．因为函数的图象的对称中心为，．（7分）令，，解得，．由于函数的图象关于点，成中心对称，令，，解得，，由可知，当时，取得最小值．预测四：与平面向量结合16．设向量，．（1）若，，求的值；（2）设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间．【解析】解：（1）根据可知，，即，所以，又，故．（2）；    最小正周期为，   由，解得，故单调递增区间为．17．设向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设函数，求的最大值及取得最大值时的值．【解析】解：，且，，，可得，等式两边约去，得，因此，可得；，，，．，可得，，当即时，有最大值为1，由此可得：的最大值为，相应的值为．18．已知向量，函数的最大值为6．（1）求的值及函数图象的对称轴方程和对称中心坐标；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【解析】解：（1），，函数的最大值为6，，对称轴方程为，对称中心坐标为；（2）函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，，，，，，，值域为，．