高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4 3 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·eq \f(π,2)(k∈Z)时的特殊情形．
2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？
提示 (1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)eq \r(3)sin α＋cs α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).( × )
题组二 教材改编
2．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C．－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
3．cs 17°cs 77°＋cs 73°cs 13°＝ .
答案 eq \f(1,2)
解析 cs 17°cs 77°＋cs 73°cs 13°＝cs 17°sin 13°＋sin 17°cs 13°＝sin(17°＋13°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
4．tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ .
答案 eq \r(3)
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
题组三 易错自纠
5．计算：eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝ .
答案 eq \r(3)
解析 eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
6．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)
B．cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)
D．cs eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)
答案 ABC
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)
＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)，∴A正确；
∵cs eq \f(5π,12)＝－cs eq \f(7π,12)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,4)))
＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)，∴B正确；
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)，∴C正确；
∵cs eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)，∴D不正确．故选ABC.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))))＝－eq \f(2,11).
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)若sin(2α－β)＝eq \f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq \f(1,2)，则sin 2αcs β等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 由sin(2α－β)＝eq \f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq \f(1,2)，
可得sin 2αcs β－cs 2αsin β＝eq \f(1,6)，①
sin 2αcs β＋cs 2αsin β＝eq \f(1,2)，②
由①＋②得2sin 2αcs β＝eq \f(2,3)，
所以sin 2αcs β＝eq \f(1,3).故选B.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)cs α，tan β＝eq \f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α＝eq \r(3)cs α，所以－sin α＝eq \r(3)cs α，故tan α＝－eq \r(3)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋\r(3)×\f(\r(3),3))＝eq \f(－\f(2\r(3),3),2)＝－eq \f(\r(3),3).
题型二 两角和与差的三角函数公式
的逆用与变形
例2 (1)若α＋β＝－eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
答案 2
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(2)(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵sin α＋cs β＝1，①
cs α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
∴sin αcs β＋cs αsin β＝－eq \f(1,2)，
∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tan α＝sin 76°cs 46°－cs 76°sin 46°，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
答案 A
解析 由tan α＝sin 76°cs 46°－cs 76°sin 46°＝sin(76°－46°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝\f(1,2)，,sin2α＋cs2α＝1，))
解得sin α＝eq \f(\r(5),5).
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案 4
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案 C
解析 因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq \f(\r(10),10)，且α，β均为锐角，所以cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(β－α)＝eq \f(3\r(10),10)，所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cs(β－α)＋cs αsin(β－α)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)，所以β＝eq \f(π,4).故选C.
(2)(2020·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)