湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

这是一份湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（标准难度）（含答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的13，另一根高出水面的长度是它的15.两根铁棒长度之和为110cm，此时木桶中水的深度是( )
A. 60cmB. 50cmC. 40cmD. 30cm
2. 如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为( )
A. 44cm2B. 36cm2C. 96cm2D. 84cm2
3. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x−y=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4. 若x2+y2=(x+y)2+A=(x−y)2−B，则A、B的数量关系为( )
A. 相等B. 互为相反数C. 互为倒数D. 无法确定
5. 若x+2y−4=0，则22y⋅2x−2的值为( )
A. 16B. 4C. 32D. 8
6. 已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式(a−b)2−c2的值( )
A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不能确定
7. 分解因式x2+ax+25=(x−5)2，则a的值为( )
A. 5B. −5C. 10D. −10
8. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A. a2+(−b)2B. 5m2−20mnC. −x2−y2D. −x2+9
9. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式x−1的是( )
A. x(x−3)+(3−x)B. x2−1
C. x2−2x+1D. x2+2x+1
10. 某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元.聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是( )
A. 第1天B. 第2天C. 第3天D. 第4天
11. 已知x=2+3，则代数式x2−4x+3的值为( )
A. 2B. 6C. 4D. 3
12. 若n为整数，则多项式(4n+5)2−9都能( )
A. 被6整除B. 被7整除C. 被8整除D. 被6或8整除
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知关于x，y的二元一次方程(3x−2y+9)+m(2x+y−1)=0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
14. 小淇将(2018x+2019)2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将(2019x−2018)2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1−c2的值为____．
15. 在分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果为(x+6)(x−1);乙看错了b的值，分解的结果为(x−2)(x+1)，则a+b= ．
16. 已知x+y=10，xy=1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
小锦和小丽分别购买了价格相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元，求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
18. (本小题8.0分)
本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费.小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
实际收费
求a，b的值．
19. (本小题8.0分)
一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
20. (本小题8.0分)
已知a+b=6，ab=−27，求下列各式的值．
(1)a2+b2;(2)a2+b2−ab;(3)(a−b)2．
21. (本小题8.0分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2．
(1)用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a+b=10，ab=23，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
22. (本小题8.0分)
先阅读后作答：
我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明(a+n)(b+m)=ab+am+nb+mn.实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明．
(1)根据图2写出一个等式： ．
(2)已知等式：(x+1)(x+3)=x2+4x+3，请你画出一个相应的几何图形加以说明(仿照图1或图2画出图形即可)．
23. (本小题8.0分)
下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积： ①x2+px+qx +pq; ②(x+p)(x+q)，请据此回答下列问题：
(1)因为x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq，所以x2+(p+q)x+pq= ．
(2)利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式进行因式分解，例如：
①x2+3x+2=x2+ (2+1)x+2×1=(x+2)(x+1)．
②x2−4x−5=x2+(1−5)x+1×(−5)= .(请将结果补充出来)
请利用上述方法将下面多项式分解因式：x2−9x+20(写出分解过程)．
24. (本小题8.0分)
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的同样大小的小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ．
(2)若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2．
①试求图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和;
②求(m+n)2的值．
25. (本小题8.0分)
已知，我们把任意形如：t=abcda的五位自然数(其中c=a+b，1≤a≤9)称之为喜马拉雅数，例如：在32523中，3+2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数.并规定：能被自然数n整除的最大的喜马拉雅数记为F(n)，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I(n)．
(1)试说明：任意一个喜马拉雅数都能被3整除;
(2)求F(3)+I(8)的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设较长的铁棒长度为xcm，较短的铁棒长度为ycm，根据两根铁棒长度之和为110cm且两根铁棒水下长度相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将x的值代入(1−13)x中即可求出结论．
【解答】
解：设较长的铁棒长度为xcm，较短的铁棒长度为ycm，
依题意，得：x+y=110(1−13)x=(1−15)y，
解得：x=60y=50，
∴(1−13)x=40cm．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：x+3y=14x+y−2y=6，
解得：x=8y=2，
∴14×(6+2×2)−6×8×2=44(cm2).
故选：A．
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积−6×小长方形的面积，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：依题意得：x−2=2y+yx−2=y−2+6，
解得：x=8y=2，
∴x−y=8−2=6．
故选：C．
由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入(x−y)中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查完全平方公式的应用.首先利用完全平方公式把x2+y2写成(x+y)2+(−2xy)和(x−y)2−(−2xy)的形式，然后求出A和B即可解答．
【解答】
解：∵x2+y2=(x+y)2+(−2xy)=(x−y)2−(−2xy)，
∴A=−2xy，B=−2xy，
∴A=B．
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】
解：因为x+2y−4=0，所以x+2y=4，
所以22y⋅2x−2=2x+2y−2=22=4，
故选B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
首先用平方差公式进行变形，然后根据三角形的三边关系，从而判断出结果。
【解答】
解：∵(a−b)2−c2 =(a−b+c)(a−b−c) =(a+c−b)(a−c−b)
又∵a，b，c是三角形的三边，
∴a+c>b,a−c∴a+c−b>0,a−c−b<0
∴(a−b)2−c2<0
故选A。
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确展开完全平方公式是解题关键．
根据完全平方公式直接去括号分解得出即可．
【解答】
解：∵x2+ax+25=(x−5)2=x2−10x+25，
∴a=−10．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】
解：A.a2+(−b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B.5m2−20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C.−x2−y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D.−x2+9=−x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选D．

9.【答案】D
【解析】解：A选项，原式=x(x−3)−(x−3)=(x−3)(x−1)，故该选项不符合题意；
B选项，原式=(x+1)(x−1)，故该选项不符合题意；
C选项，原式=(x−1)2，故该选项不符合题意；
D选项，原式=(x+1)2，故该选项符合题意；
故选：D．
用提公因式法和公式法对各选项分别因式分解即可．
本题考查了提公因式法和公式法，考核学生的计算能力，能用提公因式法和公式法对各选项分别因式分解是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，当第1天、第2天的记录无误时，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再代入第3天及第4天的数据中验证即可得出结论(若3，4天的结果均不对，则1，2天中的数据有误，以3，4天的数据列出方程组求出牙刷和牙膏的单价，再代入1，2天的数据中验证即可)．
【解答】
解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，
当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：
13x+7y=14418x+11y=219，解得：x=3y=15，
∴23x+20y=23×3+20×15=369(元)，17x+11y=17×3+11×15=216(元)．
又∵369≠368，
∴第3天的记录有误．
故选：C．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了代数式求值，利用完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式，代数式求值，可得答案．
【解答】
解：x2−4x+3=(x−2)2−1
当x=2+3时，原式=(2+3−2)2−1=2．
故选A．
12.【答案】C
【解析】略
13.【答案】x=−1y=3
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据题意，把原题目转化成3x−2y+9=02x+y−1=0，然后解方程组即可得到答案．
【解答】
解：∵m是变化的，且(3x−2y+9)+m(2x+y−1)=0，
∴3x−2y+9=0①2x+y−1=0②，
①+②×2得7x+7=0，
解得x=−1，
把x=−1代入②得−2+y−1=0，
解得y=3，
∴原方程组的解为x=−1y=3．
14.【答案】4037
【解析】
【分析】
本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．依据小淇将(2018x+2019)2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将(2019x−2018)2展开后得到a2x2+b2x+c2，即可得到c1−c2=20192−20182，进而得出结论．
【解答】
解：∵(2018x+2019)2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴c1=20192，
∵(2019x−2018)2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴c2=20182，
∴c1−c2=20192−20182=(2019+2018)(2019−2018)=4037，
故答案为4037．

15.【答案】−7
【解析】略
16.【答案】10
【解析】
【分析】
此题考查了代数式求值，因式分解−提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
将所求代数式适当变形后整体代入x+y=10，xy=1即可求解．
【解答】
解：∵x+y=10，xy=1，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=1×10
=10．
故答案为：10．
17.【答案】解：设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元．
由题意，得20x+2y=562x+3y=28，
解得：x=2y=8．
答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．

【解析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，总价=单价×数量的运用，解答时根据题意的等量关系建立方程组是关键．设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，根据单价×数量=总价建立方程组，求出其解即可．
18.【答案】解：依题意，得a+(2−1)b=9,a+3+(3−1)(b+4)=22,
解得a=7,b=2.
答：a的值为7，b的值为2．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
19.【答案】解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得，
b=2a−497(100b+a)+3876=1000a+b，
解得：a=75b=101，
答：这个三位数为101，两位数为75．
【解析】设两位数是a，三位数是b，找到两个关系式，列出方程组即可解答．
本题考查了二元一次方程组的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍．
20.【答案】解：(1)由a+b=6可知(a+b)2=36，即a2+b2+2ab=36．
因为ab=−27，
所以a2+b2=36−2×(−27)=90；
(2)由(1)可得a2+b2=90，
因为ab=−27，
所以a2+b2−ab=90+27=117；
(3)(a−b)2=a2−2ab+b2=a2+b2−2ab，
因为a2+b2=90，ab=−27，
所以a2+b2−2ab=90−2×(−27)=144，即(a−b)2=144．
【解析】此题主要考查了完全平方公式，正确将a2+b2看作整体是解题关键．
(1)直接利用完全平方公式求出a2+b2即可；
(2)利用(1)中所求得出a2+b2−ab的值进而得出答案；
(3)利用完全平方公式将原式变形即可得出答案．
21.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，S2=a2−a(a−b)−b(a−b)−b(a−b)=2b2−ab;
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，
因为a+b=10，ab=23，
所以S1+S2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=100−3×23=31；
(3)由图可得，S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
因为由(2)得，S1+S2=a2+b2−ab=29，
所以S3=12×29=292．
【解析】(1)根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)根据S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，将a+b=10，ab=23代入进行计算即可；
(3)根据S3=12(a2+b2−ab)，S1+S2=a2+b2−ab=29，即可得到阴影部分的面积S3．
22.【答案】【小题1】
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2
【小题2】
略

【解析】1. 略
2. 略
23.【答案】【小题1】
(x+p)(x+q)．
【小题2】
(x+1)(x−5)．
x2−9x+20=x2+(−4−5)x+(−4)×(−5)=(x−4)(x−5)．

【解析】1. 略
2. 略
24.【答案】【小题1】
(m+2n)(2m+n)
【小题2】
解：依题意，得2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29．
∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴(m+n)2=29+20=49．
∵m+n>0，
∴m+n=7．
①裁剪线长为2(2m+n)+2(m+2n)=6m+6n=42，
∴图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为42cm．
②(m+n)2=49．

【解析】1. 略
2. 略
25.【答案】(1)∵c=a+b，∴t=abcba=10000a+1000b+100c+10b+a=10101a+1110b．
∵(10101a+1110b)÷3=3367a+370b，
∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除;
(2)90909+21312=112221．

【解析】略
目的地
起步价(元)
超过1千克的部分(元/千克)
上海
a
b
北京
a+3
b+4
目的地
质量(千克)
费用(元)
上海
2
9
北京
3
22