高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 定点、定值、证明问题 Word版含答案

升级增分训练       定点、定值、证明问题

1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值 ，并求出该定值．

解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，

又a2＝b2＋c2，

所以a＝2，c＝，b＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．

则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，

则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，

由OA⊥OB，得kOA·kOB＝－1，

即·＝－1，

所以x1x2＋y1y2＝＝0，

即m2＝(1＋k2)，满足Δ＞0．

所以原点O到直线AB的距离为＝．

综上，原点O到直线AB的距离为定值．

2．(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋2．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE．

解：(1)由e＝，知＝，所以c＝a，

因为△PF1F2的周长是4＋2，

所以2a＋2c＝4＋2，

所以a＝2，c＝，

所以b2＝a2－c2＝1，

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1．

(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，

设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，

因为⊥，所以可设C(2，y1)，

所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，

由∥可得(x0＋2)y1＝2y0，

即y1＝．

所以直线AC的方程为：＝．

整理得y＝(x＋2)．

又点P在直线DE上，

将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝，

即点P的坐标为，

所以P为DE的中点，

所以PD＝PE．

3．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：(1)因为左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为，

所以＝，解得c＝1．

又e＝＝，解得a＝2，

所以b2＝a2－c2＝3．

所以所求椭圆C的方程为＋＝1．

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

消去y，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，

Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，

化简，得3＋4k2－m2＞0．

所以x1＋x2＝，x1x2＝．

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)

＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝．

因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，

则kAD·kBD＝－1，

所以·＝－1，

所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，

所以＋＋＋4＝0．

化为7m2＋16mk＋4k2＝0，

解得m1＝－2k，m2＝－，满足3＋4k2－m2＞0．

当m＝－2k时，

l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；

当m＝－时，l：y＝k，直线过定点．

综上可知，直线l过定点．

4．(2016·南昌一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4．

①求k1k2的值；

②求|OB|2＋|OC|2的值．

解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，

则c2＝a2－b2(c＞0)．

由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2，

∴圆心到直线x＋y＋2－1＝0的距离

d＝＝a．(*)

∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴b＝c，a＝2c，把a＝2c代入(*)式得c＝1，b＝，a＝2，

故所求椭圆的方程为＋＝1．

(2)①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

则D(－x1，－y1)，

于是k1k2＝·＝

＝＝－．

②由①及题意知，k3k4＝k1k2＝－，故y1y2＝－x1x2．

∴xx＝yy＝(4－x)·(4－x)，

即xx＝16－4(x＋x)＋xx，

∴x＋x＝4．

又2＝＋＝＋，

故y＋y＝3．

∴|OB|2＋|OC|2＝x＋y＋x＋y＝7．