高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 导数的综合应用（二） Word版含答案

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升级增分训练     导数的综合应用（二）1．已知函数f(x)＝(ax2－x＋a)ex，g(x)＝bln x－x(b＞0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈，使f(x1)＋g(x2)≥0成立，求实数b的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝(x＋1)(ax＋a－1)ex．当a＝0时，f′(x)＝－(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当a≠0时，令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝－1＋，当a＞0时，因为－1＋＞－1，所以f(x)在(－∞，－1)和上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，因为－1＋＜－1，所以f(x)在和(－1，＋∞)上单调递减，在上单调递增．(2)由(1)知当a＝时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，因此f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝0．由题意知，对任意x1∈(0,2)，存在x2∈，使g(x2)≥－f(x1)成立，因为max＝0，所以bln x2－x2≥0，即b≥．令h(x)＝，x∈，则h′(x)＝＜0，因此h(x)min＝h(2)＝，所以b≥，即实数b的取值范围是．2．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2－a＋2(a∈R，a为常数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若存在x0∈(0,1]，使得对任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋f(x0)＞0(其中e为自然对数的底数)都成立，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＝，当a≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，由f′(x)≥0且x＞0，解得0＜x≤ ，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．(2)由(1)知，当a∈(－2,0]时，函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以x∈(0,1]时，函数f(x)的最大值是f(1)＝2－2a，对任意的a∈(－2,0]，都存在x0∈(0,1]，不等式mea＋f(x0)＞0都成立，等价于对任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋2－2a＞0都成立，不等式mea＋2－2a＞0可化为m＞，记g(a)＝(a∈(－2,0])，则g′(a)＝＝＞0，所以g(a)的最大值是g(0)＝－2，所以实数m的取值范围是(－2，＋∞)．3．已知函数f(x)＝在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)是否存在区间(t＞0)使函数f(x)在此区间上存在极值点和零点？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝＝(x＞0)．∵f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝1－a－ln 1＝0．解得a＝1．∴f(x)＝，f′(x)＝－，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值1，无极小值．(2)∵x＞1时，f(x)＝＞0，当x→0时，f(x)→－∞，由(1)得f(x)在(0,1)上单调递增，由零点存在性定理，知f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点．函数f(x)的图象如图所示．∵函数f(x)在区间(t＞0)上存在极值点和零点，∴即解得＜t＜．∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为．4．(2017·沈阳质监)已知函数f(x)＝x2－aln x＋b(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为3x－y－3＝0，求实数a，b的值；(2)若x＝1是函数f(x)的极值点，求实数a的值；(3)若－2≤a＜0，对任意x1，x2∈(0,2]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤m恒成立，求m的最小值．解：(1)因为f(x)＝x2－aln x＋b，所以f′(x)＝x－，因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为3x－y－3＝0，所以即解得(2)因为x＝1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．当a＝1时，f(x)＝x2－ln x＋b，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝＝，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以a＝1．(3)因为－2≤a＜0,0＜x≤2，所以f′(x)＝x－＞0，故函数f(x)在(0,2]上单调递增，不妨设0＜x1≤x2≤2，则|f(x1)－f(x2)|≤m可化为f(x2)＋≤f(x1)＋，设h(x)＝f(x)＋＝x2－aln x＋b＋，则h(x1)≥h(x2)．所以h(x)为(0,2]上的减函数，即h′(x)＝x－－≤0在(0,2]上恒成立，等价于x3－ax－m≤0在(0,2]上恒成立，即m≥x3－ax在(0,2]上恒成立，又－2≤a＜0，所以ax≥－2x，所以x3－ax≤x3＋2x，而函数y＝x3＋2x在(0,2]上是增函数，所以x3＋2x≤12(当且仅当a＝－2，x＝2时等号成立)．所以m≥12，即m的最小值为12．