黑龙江省齐齐哈尔市克东县2022-2023学年九年级上学期期末教学质量测查数学试题（含详细答案）

黑龙江省齐齐哈尔市克东县2022-2023学年九年级上学期期末教学质量测查数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可求解．

【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的判定方法．注意：中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形能够重合；轴对称图形：一个图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合．

2．如果2是方程的一个根，则常数的值是（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】直接把代入到方程中求出c的值即可．

【详解】解：∵2是方程的一个根，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．

3．下列事件中，是必然事件的为 (   )

A．明天会下雨 B．打开电视机，正在播放动画片

C．三角形内角和为 D．经过一个路口，信号灯刚好是红灯

【答案】C

【分析】根据事件发生的可能性即可把事件分类，即可解答．

【详解】解：A．明天会下雨是随机事件，故选项不符合题意；

B．打开电视机，正在播放动画片是随机事件，故选项不符合题意；

C．三角形内角和为是必然事件，故选项符合题意；

D．经过一个路口，信号灯刚好是红灯是随机事件，故选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键．

4．抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），则2a﹣b＋1的值是（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】将已知点代入抛物线表达式得等式4a-2b-5=3，变形后代入所求代数式计算即可，

【详解】解：将（2，3）代入抛物线y＝ax2﹣bx﹣5

得4a-2b-5=3

化简变形得2a-b=4

将2a-b=4代入2a﹣b＋1

∴2a﹣b＋1=4+1=5

故选：B．

【点睛】这类题主要是根据已知条件求出一个式子的值，然后把要求的式子化成与已知式子相关的形式，把已知式子整体代入即可求解，由点在二次函数上代入得出等式4a-2b-5=3是解题的关键．

5．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【详解】解：设圆心到直线的距离为d，

和直线相交，

，

，

只有选项D符合条件，

故选：D．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离．

6．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．

【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，

∴，，，

∵，

∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

7．下列命题正确的有（    ）

（1）相等的圆心角所对的弧相等；

（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（3）直径所对的圆周角是直角；

（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据弧、弦、圆心角的关系即可判断（1）；根据垂径定理即可判断（2）；根据直径所对的圆周角是直角即可判断（3）；根据轴对称图形的定义和对称轴的定义即可判断（4）．

【详解】解：（1）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，命题错误，不符合题意；

（2）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，命题错误，不符合题意；

（3）直径所对的圆周角是直角，命题正确，符合题意；

（4）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，命题错误，不符合题意；

∴命题正确的只有一个，

故选A．

【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知圆的相关知识是解题的关键．

8．一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线长为（    ）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

【答案】B

【详解】试题分析：根据圆心角度数的计算法则：圆心角=×360°，即×360°=150°，解得：l=12cm，即圆锥的母线长为12cm.

考点：圆锥的展开图圆心角度数的计算

9．如图，是的直径，的长为，点在圆上，且，则弦的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】如图所示，连接，利用圆周角定理得到，由此证明是等边三角形，即可得到．

【详解】解：如图所示，连接，

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

故选C．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．

10．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ）

A．②④ B．①③ C．②③ D．①④

【答案】B

【分析】根据二次函数图象的性质解题即可.

【详解】解：由题意得，，，

∴，

∴，

∵图象与x轴由两个交点，

∴，

当x=1时，y=a+b+c>0，

所以①③正确，

故选B．

【点睛】本题考查二次函数图象的性质.熟练掌握相关概念是解题的关键.

二、填空题

11．若点与点关于原点对称，则_____．

【答案】1

【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出的值，再求代数式的值即可。

【详解】解：∵点与点关于原点对称，

∴，

则．

故答案为：1．

【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．

12．关于的方程是一元二次方程，则的值是________

【答案】

【分析】根据一元二次方程的定义知，由此求得值即可．

【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程

∴

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，牢记相关的定义内容是解题的切入点．

13．众友药店的某药品原价每盒元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是________．

【答案】

【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1-x），第二次后的价格是25（1-x）2，据此即可列方程求解．

【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，

故25（1-x）2=16，

解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），

故该药品平均每次降价的百分率为20%．

故答案为20%．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用中数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．

14．已知是的一条弦，作直径，使，垂足为，若，，则的长是__________.

【答案】2或8##8或2

【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和垂径定理求出，再分当点E在半径上时，当点E在半径上时，两种情况讨论求解即可．

【详解】解：如图所示，连接，

∵直径，

∴根据垂径定理，．

在中，根据勾股定理得．

当点E在半径上时，；

当点E在半径上时，．

∴的长为2或8．

故答案为：2或8．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，正确根据题意画出对应的图形并利用分类讨论的思想求解是解题的关键

15．已知一元二次方程x2-7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________.

【答案】12

【分析】先解出一元一次方程，再根据解得情况来求△ABC的周长.

【详解】解x2-7x+10=0，得x1=2,x2=5,

∵两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，

当△ABC的边长为2,5,5时，周长为12.当边长为2，2，5时不能构成三角形，

故周长为12.

【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用.

16．如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为___________．

【答案】或

【分析】根据与x轴相切得到圆心P到x轴的距离为1，即此时点P的纵坐标为1,再利用函数解析式求出点P的横坐标即可．

【详解】解：当与x轴相切时，圆心P到x轴的距离为1，即此时点P的纵坐标为1,

又∵圆心P在抛物线上运动；

∴；

解得或；

因此圆心p的坐标为或．

故答案为：或

【点睛】此题考查了二次函数、直线与圆相切，数形结合是解题的关键．

17．如图，一部分抛物线：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）．记为图象Q1与x轴交于点O和A1，将图象Q1绕点A1旋转180°，得到图象Q2，交x轴于点A2，将图象Q2绕点A2旋转180°，得到图象Q3，交x轴于点A3，…如此变换图形，得到图象Qn．如果n＝2022，则图象Q2022的顶点坐标为_____．

【答案】（4043，1）

【分析】求出Q1，Q2，Q3的坐标，找到变化的规律，即可得到答案．

【详解】解：∵y＝x（x﹣2）＝（x﹣1）²﹣1，

∴Q1的顶点坐标为（1，﹣1），点A1的坐标为（2，0），

由题意可得，Q2的顶点坐标为（3，﹣1），Q3的顶点坐标为（5，﹣1），Q4的顶点坐标为（7，1），

∴Q2022的横坐标为：1+2×（2022﹣1）＝4043，纵坐标为1，

∴Q2022的顶点坐标是（4043，1）．

故答案为：（4043，1）．

【点睛】本题属于坐标类的规律探索题，准确找到变化的规律是解题的关键．

三、解答题

18．（1）用适当方法解一元二次方程：．

（2）已知一元二次方程有两个不相等的实数根．

①求的取值范围；

②如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．

【答案】（1），；（2）①且；②或

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）①利用一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可；②根据①可得，进而求出方程的两根，再分别讨论方程的两根是方程的解即可求出m的值．

【详解】解：（1）∵，

∴

∴，

∴，即，

∴，

解得，；

（2）解：①一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：且．

②结合①可知，

方程变形为，即，

解得：，．

当时，有，解得：；

当时，有，解得：．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．

19．一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片．

（1）求小芳抽到负数的概率；

（2）若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

（2）首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】（1）∵一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，

∴小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，

∴P（小芳抽到负数）=

（2）画树状图如下：

∵共有12种机会均等的结果，其中两人均抽到负数的有2种，

∴P（两人均抽到负数）=

20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上．

以为原点建立直角坐标系，点的坐标为，则点的坐标为________；

画出绕点顺时针旋转后的，并求线段扫过的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）．

【分析】（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出A点坐标；

（2）先利用网格特点和旋转的性质画出点A和B的对应点A1、B1，即可得到△OA1B1，再利用勾股定理计算出OA和OB，然后根据扇形面积公式计算S扇形OAA1-S扇形BOB1的即可．

【详解】如图，点的坐标为；

如图，为所作；

，

线段扫过的面积

．

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形的面积公式．

21．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过两点，且与边交于点为的下半圆弧的中点，连接交于，若．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，，通过条件得，结合等边对等角及对顶角相等，通过等量代换即可得证；

（2）利用勾股定理列方程求解．

【详解】（1）证明：如图，连接，，

，

，

，

，

为的下半圆弧的中心，

，

，

，

且为半径，

是的切线；

（2）解：在中，，

，，

，

，

解得（不合题意舍去），或，

的半径为．

【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理解直角三角形，解题的关键是作出合适的辅助线．

22．在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．

(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____，每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____．

(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？

(3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)30元或40元

(3)当销售单价定为35元时，最大利润是2250元

【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据（1）得到的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，令求得x即可；

（2）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解答．

【详解】（1）解：根据题意得，；

则．

故答案为：．

（2）解：令可得，

解得或40．

答：销售单价应定为30元或40元．

（3）解：∵

∴，

∵，

∴当时，w有最大值2250，

∴当销售单价定为35元时，最大利润是2250元．

【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、一次函数和二次函数的实际应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题关键．

23．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图①所示，在中，，，点D是边上一点（），连接，将绕着点A按逆时针方向旋转，使与重合，得到．

(1)试判断的形状，并说明理由；

【深入探究】

(2)希望小组受此启发，如图②，在线段上取一点F，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；

(3)智慧小组在图②的基础上继续探究，发现，，三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系．

【答案】(1)为等腰直角三角形；理由见解析

(2)；理由见解析

(3)；理由见解析

【分析】（1）由旋转的性质可得，，可得结论；

（2）由“”可证，可得；

（3）证明，利用勾股定理可得结论，即可求解．

【详解】（1）解：结论：为等腰直角三角形．

理由：由旋转得，，

∵，

∴，

∴为等腰直角三角形；

（2）结论：．

理由：∵，，

∴．

∴，

又∵，，

∴，

∴；

（3）结论：．理由如下：

∵，，

∴，

由旋转的性质可知，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作轴于点D，交抛物线于点E，求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，若在线段MB上存在点P，使得为直角三角形，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）；（2）最大值为1，E；（3）或

【分析】（1）将B、C坐标滴入抛物线的解析式求解b、c即可；

（2）先求出顶点M坐标，再利用待定系数法求得直线BM的表达式，用m表示点P、E坐标，由和二次函数求最值方法求解即可；

（3）根据题意可得不可能为，分（i）当时；（ii）当时进行求解即可．

【详解】解：（1）将点，分别代入抛物线中，

得，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵，∴，

设直线BM的解析式为，

把点，分别代入，

得，解得，

∴直线BM的解析式为．

∵点P的横坐标为m，

∴，，

∴，

∴当时，PE有最大值，最大值为1，

此时点E的坐标为；

（3）点P的坐标为或，

根据题意可得不可能为；

（i）当时，则，即，

解得，此时点P的坐标为；

（ii）当时，则，

即

整理得：，

解得：（舍去）或，

当时， ，

此时点P的坐标为，

综上，满足题意的点P的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、坐标与图形、两点间的距离公式、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，会运用分类讨论和数形结合法等数学思想解决数学问题．