高中数学高考52第八章 立体几何与空间向量 8 8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件PPT

这是一份高中数学高考52第八章 立体几何与空间向量 8 8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型三求二面角等内容，欢迎下载使用。

NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
ZHISHISHULI
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cs β|＝ .
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝ .
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝ ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
|cs〈n1，n2〉|
1.利用空间向量如何求线段长度？
2.如何求空间点面之间的距离？
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(　　)
(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　　)
2.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为A.45° B.135°C.45°或135° D.90°
∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.
∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，
4.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
解析　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，
5.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cs〈m，n〉＝ ，则l与α所成的角为_____.
∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
题型一　求异面直线所成的角
例1　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
证明　如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
跟踪训练1　三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为
解析　如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
题型二　求直线与平面所成的角
例2　(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
证明　由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
解　如图，作PH⊥EF，垂足为H.
由(1)得，PH⊥平面ABFD.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，
又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.
设DP与平面ABFD所成的角为θ，
(1)证明：PO⊥平面ABC；
证明　因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，
所以△ABC为等腰直角三角形，
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
解　由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z).
例3　(2018·达州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°.
(1)求证：BF⊥AE；
∵BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，即BC⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF，而AE⊂平面ACEF，∴AE⊥BC，连接CF，∵四边形ACEF为菱形，∴AE⊥FC，
又∵BC∩CF＝C，BC，CF⊂平面BCF，∴AE⊥平面BCF，∵BF⊂平面BCF，∴BF⊥AE.
(2)求二面角B－EF－D的平面角的正切值.
解　取EF的中点M，连接MC，
∵四边形ACEF是菱形，且∠CAF＝60°，∴由平面几何易知MC⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，CM⊂平面ACEF，∴MC⊥平面ABCD.
设平面BEF和平面DEF的一个法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，
不妨令b1＝3，则n1＝(0，3，2)，同理可求得n2＝(0，3，－1)，设二面角B－EF－D的大小为θ，由图易知θ为锐角，
利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.
所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，
可取n＝(1，0，2)，
例　 (12分)如图，四棱锥S－ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°.
(1)求证：AC⊥平面SBD；
证明　设AC∩BD＝O，连接SO，如图①，因为AB＝AD，CB＝CD，
所以AC是BD的垂直平分线，即O为BD的中点，且AC⊥BD. [1分]在△BCD中，因为CB＝CD＝2，∠BCD＝120°，
在Rt△SBD中，因为∠BSD＝90°，O为BD的中点，
所以SO2＋CO2＝CS2，所以SO⊥AC. [4分]因为BD∩SO＝O，BD，SO⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD. [5分]
(2)若SC⊥BD，求二面角A－SB－C的余弦值.
解　方法一　过点O作OK⊥SB于点K，连接AK，CK，如图②，
由(1)知AC⊥平面SBD，所以AO⊥SB.因为OK∩AO＝O，OK，AO⊂平面AOK，所以SB⊥平面AOK. [6分]因为AK⊂平面AOK，所以AK⊥SB.同理可证CK⊥SB. [7分]所以∠AKC是二面角A－SB－C的平面角.因为SC⊥BD，由(1)知AC⊥BD，且AC∩SC＝C，AC，SC⊂平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.而SO⊂平面SAC，所以SO⊥BD.
方法二　因为SC⊥BD，由(1)知，AC⊥BD，且AC∩SC＝C，AC，SC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.而SO⊂平面SAC，所以SO⊥BD. [6分]由(1)知，AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，所以SO⊥AC.因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以SO⊥平面ABCD. [7分]
设平面SAB的法向量n＝(x1，y1，z1)，
因为二面角A－SB－C是钝角，
答题模板　利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.
1.已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为A.60° B.120°C.60°或120° D.90°
即〈m，n〉＝120°.∴两平面所成二面角为120°或180°－120°＝60°.
2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为
解析　设CA＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为
解析　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
∴n1＝(1，2，2).∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).
5.(2018·上饶模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为
解析　以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设异面直线AB1和A1C所成的角为θ，
由图可知，二面角C－AB－O为锐角，
7.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_____.
解析　以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
取z＝1，则n＝(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为θ，
∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝EF＝CD＝2，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，
9.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是____.
解析　以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，
∵异面直线所成角的范围是(0°，90°]，∴EF和BC1所成的角为60°.
10.(2019·福州质检)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_____.
解析　方法一　延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求锐二面角的平面角.
方法二　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)，取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，设平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
(1)证明：B1Q⊥A1C；
证明　如图所示，连接AC1与A1C交于M点，连接MQ.
∵四边形A1ACC1是正方形，∴M是AC1的中点，又Q是A1B的中点，
又∵B1C1∥BC且BC＝2B1C1，∴MQ∥B1C1，MQ＝B1C1，∴四边形B1C1MQ是平行四边形，∴B1Q∥C1M，∵C1M⊥A1C，∴B1Q⊥A1C.
(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值.
解　∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，CC1⊥AC，CC1⊂平面A1ACC1，∴CC1⊥平面ABC.如图所示，以C为原点，CB，CC1所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，
令AC＝BC＝2B1C1＝2，
设平面A1BB1的法向量为n＝(x，y，z)，
设直线AC与平面A1BB1所成的角为α，
(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；
证明　在Rt△ABE中，由AB＝AE＝1，得∠AEB＝45°，同理在Rt△CDE中，由CD＝DE＝2，得∠DEC＝45°，所以∠BEC＝90°，即BE⊥EC.
所以PE2＋AE2＝PA2，即PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BE.又因为CE∩PE＝E，CE，PE⊂平面PEC，所以BE⊥平面PEC，所以平面BEF⊥平面PEC.
(2)求二面角A－BF－C的余弦值.
解　由(1)知EB，EC，EP两两垂直，故以E为坐标原点，以射线EB，EC，EP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
设平面ABF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
设平面BFC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
记二面角A－BF－C为θ(由图知应为钝角)，
解析　因为SA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
∵AB＝4，SA＝3，∴B(0，4，0)，S(0，0，3).设BC＝m，则C(m，4，0)，
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；
∵AA1＝AC＝1，M，Q分别是CC1，AC的中点，∴Rt△AA1Q≌Rt△CAM，∴∠MAC＝∠QA1A，∴∠MAC＋∠AQA1＝∠QA1A＋∠AQA1＝90°，∴AM⊥A1Q.∵N，Q分别是BC，AC的中点，∴NQ∥AB.又AB⊥AC，∴NQ⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∴NQ⊥AA1.
又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，∴NQ⊥平面ACC1A1，∴NQ⊥AM.由NQ∥AB和AB∥A1B1可得NQ∥A1B1，∴N，Q，A1，P四点共面，∴A1Q⊂平面PNQ.∵NQ∩A1Q＝Q，NQ，A1Q⊂平面PNQ，∴AM⊥平面PNQ，∴无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ.
(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由.
解　如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，
令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，∴n＝(3，1＋2λ，2－2λ)是平面PMN的一个法向量.取平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1).假设存在符合条件的点P，
化简得4λ2－14λ＋1＝0，
满足平面PMN与平面ABC的夹角为60°.
A.1 D.26
解析　设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，
16.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.
(1)求证：EF⊥平面BCF；
证明　设AD＝CD＝BC＝1，∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs 60°＝3，∴AB2＝AC2＋BC2，则BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，∴AC⊥平面BCF.∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
解　以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，
易知m＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，