高中数学高考33第六章 数列与数学归纳法 6 1 数列的概念与简单表示法课件PPT

这是一份高中数学高考33第六章 数列与数学归纳法 6 1 数列的概念与简单表示法课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型四数列的性质等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
ZHISHISHULI
3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，
1.数列的项与项数是一个概念吗？
提示　不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
提示　数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上.
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(　　)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(　　)(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列.(　　)(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)
2.[P33A组T4]在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝ .
解析　由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
3.[P33A组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .
题组三　易错自纠4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是 .
解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1). (*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是 .
∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ .
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，a1＝2不满足上式.
题型一　由数列的前几项求数列的通项公式
例1　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
解　这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数。故所求数列的一个通项公式为an＝
(2)－1，7，－13，19，…；
解　偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
解　数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.
(4)5，55，555，5 555，….
求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2)相邻项的变化特征.(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.(4)各项符号特征等.(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式.
解析　这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为
题型二　由an与Sn的关系求通项公式
解析　a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
例2　 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝ .
(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝ .
解析　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴S6＝1－26＝－63.
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ .
解析　当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
显然当n＝1时不满足上式，
跟踪训练2　 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝ .
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
题型三　由数列的递推关系求通项公式
解析　由条件知an＋1－an＝n＋1，则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)
例3　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝ .
2.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列.所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.
4.若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？
解　∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.
当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
跟踪训练3　 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ .
解析　由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).
命题点1　数列的单调性
A.递减数列 B.递增数列C.常数列 D.摆动数列
命题点2　数列的周期性
即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，且a1＋a2＋a3＝0，则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.
例6　 (2018·山东、湖北部分重点中学冲刺模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为A.－3 B.－5 C.－6 D.－9
解析　由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，
∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，∴f(n)min＝－9.
应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断.
故数列{an}是以4为周期的周期数列，
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是A.第2项 B.第3项C.第4项 D.第5项
解析　∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，∴当n＝3时，f(n)取最小值.∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.
A.第19项 B.第20项C.第21项 D.第22项
2.记Sn为数列{an}的前n项和.“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件.如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件.∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件.
3.(2018·三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于A.255 B.256 C.510 D.511
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2，当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
解析　数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，Sn－1＝n2－1，两式作差得到an＝2n＋1(n≥2)，又当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3，符合上式，所以an＝2n＋1，
A.2＋nln n B.2n＋(n－1)ln nC.2n＋nln n D.1＋n＋nln n
A.5 B.6C.7 D.8
由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.故选A.
8.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.
解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，
9.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
10.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝ .
(2)求{an}的通项公式.
解　由题设知a1＝1.
经检验n＝1时，也满足上式.
12.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
解　∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
∴an＝n(n∈N*).
解　bn＝3n－λn2.bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).∵数列{bn}为递增数列，
∴{cn}为递增数列，∴λ