高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测（八） 二次函数与幂函数 Word版含答案

课时达标检测（八）  二次函数与幂函数

1．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

解析：选A　由f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又因为f(x)＝xα为奇函数，所以α只能取－1.

2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>c>b   B．a>b>c

C．c>a>b   D．b>c>a

解析：选A　∵0<<<1，指数函数y＝x在R上单调递减，故<.又由于幂函数y＝x在R上单调递增，故>，∴<<，即b<c<a，故选A.

3．已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)

解析：选D　∵函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，∴－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根，由根与系数的关系可得－2＋1＝，－2×1＝－，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2.∴函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标为(－1,0)和(2,0)．故选D.

4．二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．

解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0,3)，所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.

答案：y＝x2－2x＋3

5．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．

解析：只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.

答案：(－∞，－3]

一、选择题

1．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)

A．－1≤m≤2   B．m＝1或m＝2

C．m＝2   D．m＝1

解析：选B　由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝1或m＝2.

2．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是(　　)

A．－4   B．4

C．4或－4   D．不存在

解析：选B　依题意，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当x2＝3时，f(x)取最大值为4.

3．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是(　　)

A．f(m)<f(0)   B．f(m)＝f(0)

C．f(m)>f(0)   D．f(m)与f(0)大小不确定

解析：选A　因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．

4．已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是(　　)

A．   B．(－2,2]  C．   D．

解析：选A　由f(x)＝x2＋2|x|，f(2)＝8知，f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得a∈．

5．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　)

A．56   B．112  C．0   D．38

解析：选B　由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.

6．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　)

A．

C．   D．(－∞，0]∪上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.

二、填空题

7．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．

解析：∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴

解得∴3＜a＜5.

答案：(3,5)

8．已知点P1(x1,2 018)和P2(x2，2 018)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．

解析：依题意得x1＋x2＝－，则f(x1＋x2)＝f＝a2＋b＋9＝9.

答案：9

9．方程x2＋ax－2＝0在区间上有根，则实数a的取值范围为________．

解析：方程x2＋ax－2＝0在区间上有根，即方程x＋a－＝0，也即方程a＝－x在区间上有根，而函数y＝－x在区间上是减函数，所以－≤y≤1，则－≤a≤1.

答案：

10．设f(x)与g(x)是定义在同一区间上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈)的图象如图所示，结合图象可知，当x∈时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈)的图象有两个交点．

答案：

三、解答题

11．(2017·杭州模拟)已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数．

(1)求m的值；

(2)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．

解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，

∴m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5.

又h(x)为奇函数，∴m＝0.

(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，

令＝t，则x＝－t2＋，t∈，

∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.

12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，

解得a＝1，b＝2.

∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝

∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.

(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．

又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，

∴－2≤b≤0.故b的取值范围是．