2022年四川省宜宾市中考数学试卷（word、含解析）

2022年四川省宜宾市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是

A.
B.
C.
D.

3. 下列计算不正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 某校在中国共产主义青年团成立周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 如图，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是

A.
B.
C.
D.

6. 年月日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．年月日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为单位：年

A.  B.  C.  D.

7. 某家具厂要在开学前赶制套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多套，结果提前天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是

A.  B. 且 C. 且 D.

9. 如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为

A.
B.
C.
D.

10. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线的图象与轴交于点、，若以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，和都是等腰直角三角形，，点是边上的动点不与点、重合，与交于点，连结下列结论：；；若，则；在内存在唯一一点，使得的值最小，若点在的延长线上，且的长为，则其中含所有正确结论的选项是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 不等式组的解集为______．
15. 如图，中，点、分别在边、上，若，，，则______．
    
    
     

16. 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边、、求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为现有周长为的三角形的三边满足：：：：，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
17. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为______．
     

18. 如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象与边、分别交于点、点不与点重合若于点，则的值为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 已知：如图，点、、、在同一直线上，，，求证：．

21. 在月日世界读书日来临之际，为了解某校九年级班同学们的阅读爱好，要求所有同学从类书籍中：文学类；：科幻类；：军事类；：其他类，选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
    
    求九年级班的人数并补全条形统计图；
    在扇形统计图中，求的值；
    如果选择类书籍的同学中有名女同学，其余为男同学，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
22. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城周年之际的年，新建成的东楼如图成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步处如图测得楼顶的仰角为，沿坡比为：的斜坡前行米到达平台处，测得楼顶的仰角为，求东楼的高度结果精确到米．参考数据：，

23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、若，．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求的面积．
    
    
     

24. 如图，点是以为直径的上一点，点是的延长线上一点，在上取一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，且．
    求证：是的切线；
    若点是的中点，，，求的长．

25.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结．
求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点的坐标；
在的条件下，将点向下平移个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，底层是三个相邻的小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体得到的图形．
 

3.【答案】

【解析】解：，故选项A计算不正确；
B.，故选项B计算正确；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算正确．
故选：．
利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法则逐个计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则是解决本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，，，
所以这组数据的众数是，中位数是．
故选：．
先将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，，
，，
▱的周长．
故选：．
由于，，则可以推出四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱的周长等于．
本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
 

6.【答案】

【解析】解：亿，
且亿，
故选：．
先求出此玄武岩形成的年龄最小值，再运用科学记数法进行表示．
此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解相关知识，并能进行相关计算．
 

7.【答案】

【解析】解：设原计划每天完成套桌凳，则实际每天完成套，
根据原计划完成的时间实际完成的时间天得：，
故选：．
设原计划每天完成套桌凳，则实际每天完成套，根据原计划完成的时间实际完成的时间天列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据原计划完成的时间实际完成的时间天列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由题意可得：，
且，
故选：．
根据根的判别式即可列不等式，计算即可得答案，注意．
本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
故选：．
利用矩形和折叠的性质可得，设，则，，在中利用勾股定理列方程，即可求出的值，进而可得．
本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形和折叠的性质得到．
 

10.【答案】

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
 

11.【答案】

【解析】解：把、代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
设为轴下方的抛物线上的点，则，
设为的中点，则，
以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
，即，
，
，
或，
以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
抛物线开口向上，即，
，
，即，
．
故选：．
把、两点坐标代入二次函数解析式，用表示、，进而把抛物线的解析式用表示，设抛物线在轴下方一点的横坐标为，由，列出与的不等式式，进而根据不等式的性质求得结果．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，点与圆的位置关系的应用，关键是根据点与圆的位置关系列出不等式．
 

12.【答案】

【解析】解：如图中，

，
，
，，
≌，
，，故正确，
，
，
，
，
取的中点，连接，，，则，
，，，四点共圆，
，故正确，
设，则，，
过点作于点，
，
，
，，
，
，故正确．
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，
，
设，则，
，
，
，故错误．
故选：．
正确．证明≌，可得结论；
正确．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理证明；
正确．设，则，，过点作于点，求出，，可得结论；
错误．将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，设，则，构建方程求出，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
应先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解： ，
，
．
故答案为 ．

 

14.【答案】

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集为，
故答案为：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
∽，
，
，，，
，
，
故答案为：．
由，，得出∽，再由相似三角形的性质即可得出的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件求证∽是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：根据：：：：，设，，，
则，
解得：，
，，，
，
故答案为：．
根据题意先求出、、，再代入公式进行计算即可．
本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，设内切圆的圆心为，连接、，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把代人中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为．
故答案为：．
如图，设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
 

18.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
是边长为的等边三角形，
，，

设，则，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
、两点都在反比例函数数的图象上，
，
解得或，
当时，，此时与重合，不符题意，舍去，
，
，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，设，通过解直角三角形和等边三角形的性质用表示出、两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出的方程求得，便可求得的值．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，关键是列出的方程．
 

19.【答案】解：


；



．

【解析】先计算二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后计算加减；
先计算括号里面的，再变除法为乘法进行分式的乘法运算．
此题考查了实数与分式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序与方法，并能进行正确的计算．
 

20.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
，
，
即：．

【解析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，准确利用全等三角形的判定定理解答是解题的关键．
 

21.【答案】解：九年级班的人数为：人，
选择类书籍的人数为：人，
补全条形统计图如图所示；
，
则；
选择类书籍的同学共人，有名女同学，
有名男同学，
画树状图如图所示：
则一男一女．

【解析】根据选择类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级班的人数，求出选择类书籍的人数，补全条形统计图；
求出选择类书籍的人数，求出；
根据题意画出画树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
本题考查的是求随机事件的概率、条形统计图和扇形统计图，能够正确从统计图中获取相关的信息是解题的关键．
 

22.【答案】解：由已知可得，
，米，，，，
设米，米，
，
解得，
米，米，
，，
，
，
设米，则米，米，
，
，
解得，
答：东楼的高度约为米．

【解析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以得到和的值，然后根据题目中的数据，可以计算出的值．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：在中，，
，
，，
，
，两点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数的解析式为；

由，解得或，
，
过点作轴于点，



 

【解析】求出，两点坐标，代入直线的解析式求出，，再求出点的坐标，求出即可；
构建方程组求出点的坐标，再利用割补法求出三角形面积．
本题考查一次函数与反比例函数的交点，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：连接，如图所示，
，为的切线，
，，
，，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
是的切线；
解：由知，是的切线，
，
，，，
，
即，
解得，
，
，
点为的中点，，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
即的长是．

【解析】要证明是的切线，只要证明即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到，从而可以证明结论成立；
根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得和的长，从而可以得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】解：抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；

设直线是解析式为，
把，代入，得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，

综上所述，满足条件点点的坐标为或；

由题意，，，关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，

在中，，则在中，，
，
，
为最小值，
，
，
的最小值为．

【解析】利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
过点作于点，证明≌，推出，设，则，可得，推出或，即可解决问题；
由题意，，，关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，证明，由，推出为最小值．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．