湖南省长沙市雅礼中学2023届高三数学下学期仿真卷（一）试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023届高三数学下学期仿真卷（一）试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新高考2023届高三仿真卷（一）
数学

(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·吕梁模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B等于(　　)
A．(－1,4) B．(－1,3)
C．(0,3) D．(0,4)
2．(2022·长春模拟)已知复数z的共轭复数＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2022·合肥模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则说法不正确的是(　　)

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立春的晷长与立秋的晷长相同
D．立冬的晷长为一丈五寸
4．(2022·重庆调研)函数y＝ln cos x的图象是(　　)


5．(2022·邯郸模拟)(2－x2)6展开式中的常数项为(　　)
A．－15 B．－13 C．13 D．15
6．(2022·郑州模拟)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝4，EF＝2，△BCF，△ADE都是等边三角形，则五面体ABCDEF的体积为(　　)

A. B.
C. D．4
7．(2022·荆州模拟)甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中．则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是(　　)
A. B. C. D.
8．(2022·成都模拟)已知双曲线x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，则△AF1B的内切圆半径为(　　)
A. B. C.a D.a
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)
9．(2022·洛阳模拟)已知m>n，且m＋n>1，则(　　)
A．2m>2n B．m2>n2
C．m2－m0
10．(2022·淄博模拟)某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中(　　)
A．众数可为3 B．中位数可为2
C．极差可为2 D．最大点数可为5
11．(2022·高邮模拟)已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，那么(　　)
A．函数f 为奇函数
B．函数f(x)在上单调递增
C．若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为
D．函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos 3x的图象
12．(2022·徐州模拟)已知函数f(x)＝xex，则(　　)
A．曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x
B．函数f(x)的极小值为－e
C．当≤a<时，f(x) D．当2e 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·淮安模拟)已知平面向量a，b满足a＝(1,2)，|b|＝，a·b＝，则cos〈a，b〉＝________.
14．(2022·蚌埠模拟)国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市(区)包括上海市3个区、江苏省3个市、浙江省2个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共8个市，则帮扶方案中上海市3个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为________．(用数字作答)
15．(2022·济宁模拟)已知点A是焦点为F的抛物线Γ：y2＝4x上的动点，且不与坐标原点O重合，线段OA的垂直平分线交x轴于点B.若＝2，则|AB|－|AC|＝________.
16．(2022·哈尔滨模拟)已知m>0，若对任意的x∈[1，＋∞)，不等式2mx－1－log4x≥0恒成立，则m的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2022·秦皇岛模拟)已知递增的等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝36，且a8是a5与a13的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn.






18．(12分)(2022·兰州模拟)重楼，中药名，具有清热解毒、消肿止痛、凉肝定惊之功效，具有极高的药用价值．近年来，随着重楼的药用潜力被不断开发，野生重楼资源已经满足不了市场的需求，巨大的经济价值提升了家种重楼的热度，某机构统计了近几年某地家种重楼年产量y(单位：吨)，统计数据如表所示．
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
年产量y/吨
130
180
320
390
460
550
630

(1)根据表中的统计数据，求出y关于x的经验回归方程；
(2)根据(1)中所求方程预测2024年该地家种重楼的年产量．
附：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.







19．(12分)(2022·深圳模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＋a＝b(sin C＋cos C)．
(1)求B；
(2)若a＝2，求c的取值范围．






20．(12分)(2022·新余模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA＝PB＝PC＝AB＝AC，E是PA的中点．

(1)求证：平面PAB⊥平面BCE；
(2)若BC＝AB，求平面ABC与平面ABE夹角的正弦值．






21．(12分)(2022·长沙模拟)已知离心率为的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：y2＝－2px(p>0)的焦点．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得S2＝S1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．





22．(12分)(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)当a＝1时，令g(x)＝.
①证明：当x>0时，g(x)>1；
②若数列{xn}(n∈N*)满足x1＝，＝g(xn)，证明：2n(－1)<1.
参考答案
1．C　2.D　3.C　4.A　5.B　6.B
7．A　[由题知，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为×＝，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球；第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为×＋×＝，故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.
故所求概率为＋＝.]
8．C　[如图，

不妨设A在第一象限，A(x1，y1)，过点A作AM⊥x轴于点M，
得F2(a,0)，
则|AF2|2＝(x1－a)2＋y
＝(x1－a)2＋x－a2
＝2x－2ax1＋a2＝(x1－a)2，
所以|AF2|＝x1－a.(*)
又∠AF2M＝60°，
则|AF2|cos 60°＝|F2M|
＝x1－a，
即x1＝|AF2|＋a，
代入(*)式得
|AF2|＝－a，即|AF2|＝(2＋)a，
同理|BF2|＝(2－)a，
则|AB|＝4a，
＝|F1F2|·|AB|sin 60°＝2a2，
故△AF1B的内切圆半径r满足
(|F1A|＋|F1B|＋|AB|)r
＝，
又|F1A|＋|F1B|＝|AB|＋4a＝8a，
所以×12a×r＝2a2，
解得r＝a.]
9．AB
10．AC　[如果五次都为3，满足题意，众数为3，符合题意，故A正确；
若中位数为2，则出现2,2,2,4,5这组情况方差最小，但此时方差大于1，不符合题意，故B错误；
2,3,3,3,4这种情况下方差为0.4，极差为2，故C正确；
若最大点数为5，当方差最小时，该组数为2,2,3,3,5，该组数的方差大于1，故D错误．]
11．AC　[因为f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，
所以3×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为 －<φ<，
所以k＝0，φ＝，
所以f(x)＝sin，
对于A，f 
＝sin
＝sin 3x，
所以f 为奇函数成立，故A正确；
对于B，当x∈时，3x＋∈，函数f(x)在上不是单调函数，故B不正确；
对于C，因为f(x)max＝1，
f(x)min＝－1，
又因为|f(x1)－f(x2)|＝2，
所以|x1－x2|的最小值为半个周期，
即×＝，故C正确；
对于D，函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到
y＝sin
＝sin(3x－π)
＝－sin 3x，故D不正确．]
12．AC　[f′(x)＝(x＋1)ex，则切线的斜率为k＝f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x，故A正确；
f(x)＝xex在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，则当x＝－1时，f(x)有极小值，即f(－1)＝－e－1，故B不正确；
由于f(x)＝xex在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，则当x＝－1时，f(x)有最小值，即f(－1)＝－e－1.当x<－1时，xex<0，则函数f(x)的图象在x 轴下方；当x>－1时，f(0)＝0，则函数f(x)存在一个零点x＝0，故f(x)＝xex的图象如图所示，

函数f(x)＝xex在直线y＝a(x－1)下方的横坐标为整数的点只有一个，
点A(－1，－e－1)，B(－2，－2e－2)，其中kPA＝＝，kPB＝＝，
则kPB≤a 13.　14.7 200
15.
解析　方法一　由题意，
不妨设A(x0，y0)，x0>0，B(xB,0)，D为OA的中点，
则y＝4x0，
线段OA的中点D，
依题意得kOA·kDB＝－1，
所以·＝－1，
所以＝－1，
所以＝－1，
得xB＝2＋x0，
故|AB|＝|OB|＝x0＋2.
因为＝2，
所以C为线段AF的中点，
又F(1,0)，
所以|AC|＝|AF|＝，
所以|AB|－|AC|＝.
方法二　由题意得F(1,0)，C为线段AF的中点，
不妨设A(x0，y0)，x0>0，
则C，
设线段OA的垂直平分线为
y＝－＋，
令y＝0，得xB＝＋，
又y＝4x0，
所以xB＝2＋，
则|AB|＝|OB|＝2＋.
又|AC|＝
＝，
所以|AB|－|AC|＝2＋－＝.
16.
解析　2mx－1－log4x≥0变形为2mx－1－log2x≥0，
即2mx≥log2x，
mx·2mx≥log2x· ，
设f(t)＝t·2t(t>0)，f′(t)＝2t＋t·2tln 2>0，则f(t)是增函数，
由f(mx)≥f(log2x)恒成立得mx≥log2x，即m≥，
设g(x)＝(x≥1)，
g′(x)＝，
当10，g(x)单调递增，
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(e)＝，
所以m≥，即m的最小值是.
17．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题可知d>0，
因为a2＋a4＋a6＋a8＝4a5＝36，
所以a5＝9，
又a8是a5与a13的等比中项，
所以a＝a5a13，
即(a5＋3d)2＝a5(a5＋8d)，
解得d＝2或d＝0(舍去)，
所以an＝a5＋(n－5)d＝2n－1.
(2)因为bn＝，
所以bn＝
＝.
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝
＝＝.
18．解　(1)由表格数据，
得＝＝4，
＝
＝380，
iyi＝1×130＋2×180＋3×320＋4×390＋5×460＋6×550＋7×630
＝13 020，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49
＝140，
则＝
＝＝85，
所以＝－＝380－85×4＝40，
所以y关于x的经验回归方程为
＝85x＋40.
(2)由题可知，2024年的年份代码为9，即x＝9，
将x＝9代入回归方程，
得＝85×9＋40＝805，
所以预测2024年该地家种重楼的年产量为805吨．
19．解　(1)由c＋a＝b(sin C＋cos C)及正弦定理得sin C＋sin A＝sin Bsin C＋sin Bcos C，
所以sin C＝sin Bsin C＋sin B·cos C－sin(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bsin C，
因为0 所以sin C≠0，
所以sin B－cos B＝1，
从而sin＝.
因为0 所以B－＝，所以B＝.
(2)由正弦定理得＝，
所以c＝＝
＝＝1＋
＝1＋.
因为△ABC是锐角三角形，
所以
解得 因为y＝tan x在上单调递增，
所以tan A>.
从而0<<3，
所以1 即c的取值范围是(1,4)．
20．(1)证明　因为PB＝AB，E是PA的中点，
所以PA⊥BE，
同理可得PA⊥CE，
因为BE∩CE＝E，BE，CE⊂平面BCE，
所以PA⊥平面BCE.
因为PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面BCE.
(2)解　设AB＝2，因为BC＝AB，
所以BC＝，
又BE＝CE＝，
所以BE2＋CE2＝BC2，
所以BE⊥CE.
如图，以点E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系E－xyz，

则E(0,0,0)，A(0,0，－1)，
B(，0,0)，C(0，，0)，
所以＝(，0,1)，
＝(0，，1)，
设平面ABC的法向量为
n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝，可得z＝－3，y＝，
所以平面ABC的一个法向量为
n1＝(，，－3)．
易知CE⊥平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以平面ABC与平面ABE夹角的正弦值为.
21．解　(1)由题意得
解得
∴椭圆C1的方程为＋＝1，
F1(－1,0)，
∴抛物线C2的方程为y2＝－4x.
(2)由题意得，直线l的斜率不为0，
Q(－2,0)，
设直线l的方程为x＝my－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
由得y2＋4my－8＝0，
∴y1＋y2＝－4m，y1y2＝－8，
∵S2＝S1，
∴＝
＝＝
＝＝，
∵y＝－4x1，
∴直线OA的斜率为＝－，
即直线OA的方程为y＝－x，
由得y＝，
同理可得y＝，
y·y＝×
＝
＝
＝，
∴2＝
＝＝，
解得m＝±1，
∴存在直线l，方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
22．(1)解　函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，
解得x>ln a，
令f′(x)＝ex－a<0，解得x 即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)证明　当a＝1时，
g(x)＝，
①当x>0时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1，
令F(x)＝－1，x>0，
则F′(x)＝<0恒成立，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
F(x) 因此<1成立，
所以当x>0时，g(x)>1.
②由①可知，当x∈(0，＋∞)时，
g(x)>1，
由x1＝得＝g(x1)>1，
即x2>0，
由＝g(xn)，可得xn>0，
而 ，
又e－3＝e－<0，
即<，
则<，
由于2n(－1)<1⇔－1 又当x>0时，g(x)－10⇔＋1>0，
令h(x)＝＋1，x>0，
h′(x)＝>0恒成立，
则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
h(x)>h(0)＝0，
则当x>0时，恒有＋1>0，而xn>0，
即g(xn)－1<－成立，不等式－1<(－1)成立，
因此－1<(－1)<(－1)<…<(－1)<成立，
即－1 所以原不等式得证．