高中数学高考6 第6讲　指数与指数函数

这是一份高中数学高考6 第6讲　指数与指数函数，共20页。试卷主要包含了根式，有理数指数幂，指数函数的图象与性质，计算等内容，欢迎下载使用。
第6讲　指数与指数函数
最新考纲
考向预测
1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
命题
趋势
在指数函数中，比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，中档难度.
核心
素养
数学运算、直观想象


1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
(a>0且
a≠1)
a>1
01；
当xa
【解析】　方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D.
方法二：因为＝0.3a，故选D.
【答案】　D

比较指数幂大小的常用方法
一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．
二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．
三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　
角度二　解简单的指数方程或不等式
(1)若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)
A． B．
C． D．[2，＋∞)
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
【解析】　(1)因为2 x2＋1≤＝24－2x，
则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，
所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.
(2)当a1时，不成立应舍去．故a的值为.
【答案】　(1)B　(2)

解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　
角度三　研究指数型函数的性质
(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：
当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；
当0f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．
2．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.将原函数看成复合函数f(x)＝，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
3．定义：区间[x1，x2](x11且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)
A．M＝N B．M≤N
C．MN
解析：选D.因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝N，故选D.
3．(多选)已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1 D．y＝2x－1
解析：选ABC.函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点．
4．已知函数f(x)＝－，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在R上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C.易知f(x)的定义域为R，f(－x)＝－＝－，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数．函数f(x)＝－显然是减函数．故选C.
5．当x∈[－2，2]时，ax0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B．
C．∪(1，) D．(0，1)∪(1，)
解析：选C.x∈[－2，2]时，ax0且a≠1)．
若a>1，y＝ax是增函数，
则有a2