高中数学高考广东省深圳市高级中学2019届高三数学适应性考试（6月）试题理

这是一份高中数学高考广东省深圳市高级中学2019届高三数学适应性考试（6月）试题理，共19页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，在平行四边形中，若等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。 答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合要求．
1．已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）

2．已知（其中为虚数单位），则的虚部为
（A） （B） （C） （D）
3．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
(A) (B) (C) (D)
4．若，是第三象限的角，则
(A) (B) (C) (D)
5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为
(A) (B)
(C) (D)
6．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
(A) (B) (C) (D)
7．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是.
(A)样本中的女生数量多于男生数量
(B)样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
(C)样本中的男生偏爱理科
(D)样本中的女生偏爱文科
8．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则△的面积是
(A) 4 (B) (C) (D) 8
9．在平行四边形中，若
则

10．在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的右顶点和
右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于两点，线段的中点为M，若三
点共线，则椭圆C的离心率为
(A) (B) (C) (D) 或
11． 设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则
（A） （B） （C） （D）
12． 设是正四面体底面的中心，过的动平面与交于与的延长线分别交于则
(A) 有最大值而无最小值 (B) 有最小值而无最大值
(C) 既有最大值又有最小值，且两者不相等 (D)是一个与平面无关的常数
第II卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．在数列中，，则的值为______．
14. 已知函数的图象关于直线对称，则．
15．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_________．
16．已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离.
18．（本小题满分12分）
已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且∥平面．
（1）证明：；
（2）当为的中点，，
与平面所成的角为，
求与平面所成角的正弦值．
19. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．
20. （本小题满分12分）
某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．
（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
②刻画回归效果的相关指数 ．
③参考数据：，．
表中．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）
平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数
方程为 （为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
（1）写出曲线的参数方程;
（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲](10分）
已知实数正数x, y满足．
（1）解关于x的不等式；
（2）证明：
2019届高三年级适应性测试理科数学参考答案及说明
13．___1_________； 14．________； 15．_____； 16. ________ .
17．（本小题满分12分）
工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离.
,
在分
.…………………………….5分.
=…….9分
…….12分
18．（本小题满分12分）
已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且∥平面．
（1）证明：；
（2）当为的中点，，
与平面所成的角为，
求与平面所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：连结、且，连结．
因为，为菱形，所以，，
因为，，所以，，
因为，且、平面，
所以，平面，
因为，平面，所以，，
因为，平面，
且平面平面，
所以，，平面，
所以，．……………………………….5分
（2）由（ = 1 \* ROMAN I）知且，
因为，且为的中点，
所以，，所以，平面,
所以与平面所成的角为，所以，
所以，，，因为，，所以，.
以，，分别为，，轴，如图所示建立空间直角坐标系……….…..7分
记，所以，，，，，，，，
所以， ，，.……………..8分
记平面的法向量为，所以，即，
令，解得，，所以，，.…………………….…分
记与平面所成角为，所以，.
………………………………………………………………………………………….…分
所以，与平面所成角的正弦值为.………………………………..…分
19. （本小题满分12分）
如图：在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．
解：（1）由题意，解得，又，解得
所以椭圆C的标准方程为．------------------------------------------4分
（2）= 1 \* GB3①当过点的椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于轴，易得；--------------------------------------------------------------6分
= 2 \* GB3②当过点的椭圆的切线的斜率均存在时，设
切线方程为，
代入椭圆方程得，
，
化简得：，
由此得，--------------------------------------8分
设过点的椭圆的切线的斜率分别为，所以．
因为两条切线相互垂直，所以，即，---------9分
由= 1 \* GB3①= 2 \* GB3②知在圆上，又点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
所以，所以．-------------------------11分
综上所述，的取值范围为．---------------------------12分
20. （本小题满分12分）
某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．
（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
解：（1）对取对数，得，……1分
设，，先建立关于的线性回归方程。
，……3分
……5分
……6分
模型②的回归方程为。……7分
（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，……9分
即，……10分
模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好。……11分
2021年时，，预测旅游人数为（万人）
……12分
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．
解：（1），所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为．---------------2分
（2）令，得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，又，
所以在区间上存在一个零点，此时；
因为，，
所以在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3．-----6分
（3）当时，不等式为．显然恒成立，此时；
当时，不等式可化为，------------------7分
令，则，
由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，
此时，即
所以当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减．
所以有极大值即最大值，于是．
-----------------------------9分
当时，不等式可化为，
由（2）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得．
综上可知．
又因为，所以正整数的取值集合为．-------------------12分
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）
平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数
方程为 （为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
（1）写出曲线的参数方程;
（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，求的值．
解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，
则曲线的直角坐标方程为，分
整理得，
曲线的参数方程（为参数）分
（2）将直线的参数方程化为（为参数），
将参数方程带入得.
整理得，分
，，分
. 分
23．[选修4-5：不等式选讲](10分）
已知实数正数x, y满足．
（1）解关于x的不等式；
（2）证明：
23.（1）解：
---------------------------------------------2分
解得，所以不等式的解集为-------------------------------------------5分
（2）解法一： 且，
. ---------------9分
当且仅当时，取“=”. ----------------------------------10分
解法二： 且，
------------------------------------------------6分
----------------------8分
当且仅当时，取“=”. --------------------------10分
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人数（万人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
回归方程
①
②
30407
14607
5．5
449
6．05
83
4195
9．00
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
A
B
D
D
A
C
C
C
D
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人数（万人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
回归方程
①
②
30407
14607