高中数学高考6 第5讲 第2课时 直线与椭圆的位置关系 新题培优练
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这是一份高中数学高考6 第5讲 第2课时 直线与椭圆的位置关系 新题培优练,共8页。试卷主要包含了若直线mx+ny=4与⊙O,已知椭圆C等内容,欢迎下载使用。
[基础题组练]1.若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )A.至多为1 B.2C.1 D.0解析:选B.由题意知,>2,即<2,所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B.C. D.解析:选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点A(0,-2),B,所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=,故选B.3.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )A.+y2=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析:选C.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为+=1.4.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )A.2 B.C. D.解析:选C.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-t,x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|=·=·=·,当t=0时,|AB|max=.5.中心为(0,0),一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析:选C.c=5,设椭圆方程为+=1,联立方程消去y,整理得(10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,由根与系数的关系得x1+x2==1,解得a2=75,所以椭圆方程为+=1.6.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A、B两点,则弦AB的长为________.解析:由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=0.则|AB|=== =.答案:7.直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为________.解析:由点差法可求出k1=-·,所以k1·=-,即k1k2=-.答案:-8.(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上,则椭圆C的方程为________________.解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可知c=1,即a2-b2=1①,设点F(1,0)关于直线y=x的对称点为(m,n),可得=-2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为,且中点在直线y=x上,所以有=×③,联立②③,解得即对称点为,代入椭圆方程可得+=1④,联立①④,解得a2=,b2=,所以椭圆方程为+=1.答案:+=19.(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆C上一点,满足3|PF1|=5|PF2|且cos∠F1PF2=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,点Q,若|AQ|=|BQ|,求k的取值范围.解:(1)由题意设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则3r1=5r2,又r1+r2=2a,所以r1=a,r2=a.在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2===,解得a=2,因为c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)联立方程,得,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且Δ=48(3+4k2-m2)>0,①设AB的中点为M(x0,y0),连接QM,则x0==,y0=kx0+m=,因为|AQ|=|BQ|,所以AB⊥QM,又Q,M为AB的中点,所以k≠0,直线QM的斜率存在,所以k·kQM=k·=-1,解得m=-,②把②代入①得3+4k2>,整理得16k4+8k2-3>0,即(4k2-1)(4k2+3)>0,解得k>或k<-,故k的取值范围为∪.10.已知椭圆+=1(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆交于E,F两点,若=2,求直线EF的方程.解:(1)由题意,=,a·b=··,得a=,b=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)设EF:x=my-1(m>0)代入+y2=1,得(m2+3)y2-2my-2=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),由=2,得y1=-2y2.由y1+y2=-y2=,y1y2=-2y=,得=,所以m=1,m=-1(舍去),直线EF的方程为x=y-1即x-y+1=0.[综合题组练]1.(一题多解)(2019·南宁模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )A. B.C. D.解析:选C.法一:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,得两式相减得=-·.因为kAB==1,且x1+x2=-8,y1+y2=2,所以=,e===,故选C.法二:将直线方程x-y+5=0代入+=1(a>b>0),得(a2+b2)x2+10a2x+25a2-a2b2=0,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,又由中点坐标公式知x1+x2=-8,所以=8,解得a=2b,又c==b,所以e==.故选C.2.(综合型)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是( )A.4 B.3C.2 D.1解析:选D.因为(+)·=(+)·=·=0,所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2,所以S△F1PF2=mn=1.3.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.解析:由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),kOP=-,kAB=-,由于OP∥AB,所以-=-,y0=,把P代入椭圆方程得+=1,所以=,所以e==.答案:4.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为________.解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b2<ac,即a2-c2<ac,故+-1>0即e2+e-1>0,e>或e<,又0<e<1,所以<e<1.答案:5.(2019·成都模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.解:(1)由题可知c=,=2,a2=b2+c2,所以a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时,不合题意.当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2)。联立,得消去x可得(4+m2)y2+2my-3=0.Δ=16m2+48>0,y1+y2=,y1y2=.因为点B在以MN为直径的圆上,所以·=0.因为·=(my1+1,y1-1)·(my2+1,y2-1)=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0,所以(m2+1)+(m-1)+2=0,整理,得3m2-2m-5=0,解得m=-1或m=.所以直线l的方程为x+y-1=0或3x-5y-3=0.6.(应用型)(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动,=.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.解:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y).所以得由||=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-,x1x2=-.y1+y2=k(x1+x2)+2=.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.这时|AB|=|x1-x2|==,原点到直线AB的距离d==,所以平行四边形OAMB的面积S=|AB|·d=.
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