高中数学高考5 第5讲　数学归纳法　新题培优练

[基础题组练]

1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)

A．2　　　　　　　　　　　   B．3

C．5   D．6

解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，

当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，

当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，

当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，

当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，

当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.

2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)

A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立

B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立

C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立

D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立

解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．

3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A.   B．－

C.－   D.＋

解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，

左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.

4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)

A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2

C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2

D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2

解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.

5．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)

A．1项   B．k项

C．2k－1项   D．2k项

解析：选D.令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，

其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.

故左边增加了2k项．

6．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证的不等式是________．

解析：由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，

当n＝2时，不等式为1＋＋<2.

答案：1＋＋<2

7．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．

解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.

答案：

8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．

答案：＋＋…＋＋>－

9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.

证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，

右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.

那么，当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2

＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2

＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]

＝(－1)k·.

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.

10．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.

证明：用数学归纳法证明．

①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．

②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．

则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.

所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，

不等式(1＋x)p>1＋px均成立．

[综合题组练]

1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．

证明：①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.

因为左边>右边，所以不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，

即·…·>.

则当n＝k＋1时，

·…·

>·＝＝

>＝＝.

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

2．已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)．

(1)用数学归纳法证明：0<xn<1；

(2)设an＝，求数列{an}的通项公式．

解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝∈(0，1)，不等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，

即xk∈(0，1)，

则当n＝k＋1时，xk＋1＝，

因为xk∈(0，1)，所以2－xk>0，即xk＋1>0.

又因为xk＋1－1＝<0，所以0<xk＋1<1.

综合①②可知0<xn<1.

(2)由xn＋1＝可得＝＝－1，

即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)．

令bn＝an－1，

则bn＋1＝2bn，又b1＝a1－1＝－1＝1，

所以{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，

即bn＝2n－1，所以an＝2n－1＋1.

3．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和如下：

S1＝1，

S2＝2＋3＝5，

S3＝4＋5＋6＝15，

S4＝7＋8＋9＋10＝34，

S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，

…

试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．

解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；

当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；

当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；

当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.

猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，

那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

根据(1)和(2)可知，对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.