高中数学高考3 2　导数的应用(一)

这是一份高中数学高考3 2　导数的应用(一)，共8页。试卷主要包含了故选A.，用导数判断单调性等内容，欢迎下载使用。
3．2　导数的应用(一)


函数的单调性与导数
(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内________；如果f′(x)f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
解：f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.
()函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)


　　　　A　　　　　　　　　 　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　　 D
解：由导函数y＝f′(x)的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1)，并且当x0.因此函数f(x)在x＝x1处取得极小值，在 x＝x2处取得极大值，在x＝x3处取得极小值．对照四个选项，选项A中，在x＝x1处取得极大值，不合题意；选项B中，极大值点应大于0，不合题意；选项C中，在x＝x1处取得极大值，也不合题意；选项D合题意．故选D.
若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．
解：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－10，
则其在区间(－π，π)上的解集为和，
即f(x)的单调递增区间为和.
故填和.

(2)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 (　　)
A．[1，＋∞) B.
C．[1，2) D.
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ 4x－，由f′(x)＝0，得x＝.依题意得解得1≤k1的解集为 (　　)

A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－，)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解：由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－20，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)f(3)>f(2)．故选D.

类型二　利用导数研究含参数函数的单调性
　()已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)，其中a>0.讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＝－2.
①当0－1)．讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)在(－1，＋∞)上的单调性．
解：F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝－＝(x>－1)．
①当m≤0时，F′(x)0时，令F′(x)－1＋，
函数F(x)在上单调递增．
类型三　已知函数单调性确定参数的值(范围)
　(1)若函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a>0)的单调递增区间是[1，＋∞)，则a的取值集合是________．
解：f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，即f(x)仅在区间[1，＋∞)上单调递增．
令f′(x)≥0⇒ax2＋a－2≥0⇒x2≥.
若≤0，即a≥2，则x2≥恒成立，f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，不符合题意；
若＞0，即0＜a＜2，则f(x)的单调递增区间为，所以＝1，即a＝1时，符合题意．故填{a|a＝1}．
(2)若函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a＞0)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
解：f′(x)＝－＝，由f(x)在[1，＋∞)上单调递增可得，对任意x≥1，f′(x)≥0⇒a(x2＋1)≥2.所以a≥＝1，所以a≥1.故填[1，＋∞)．

点　拨：
根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．

　(1)()若函数f(x)＝x－ sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B.
C. D.
解：依题意知，f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝ －cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1，1]上恒成立，因为Δ＝a2＋>0，所以解得－≤a≤.故选C.

(2)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.当 x∈时，f′(x)单调递减，故f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－，所以实数a的取值范围是.故填.


1．用导数判断单调性
用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
2．已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
解：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令 f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 (　　)


　　　　A　　　　　　　　　 　　　B

　　　　C　　　　　　　　　 　　　D
解：由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当00”是“f(x)在R上单调递增”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.
4．()若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解：因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0