高中数学高考01第一章 集合与常用逻辑用语 1 1 集合的概念及运算

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§1.1 集合的概念及运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示．
(3)集合的表示法： 、 、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
题组二 教材改编
2．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 020)}，a＝2eq \r(2)，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为______．
题组三 易错自纠
4．已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或eq \r(3) B．0或3
C．1或eq \r(3) D．1或3或0
5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|26．若集合A＝{x∈R|ax2－4x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
题型一 集合的含义
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))))，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．
题型二 集合间的基本关系
例1 (1)集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋1，n∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝m＋\f(1,2)，m∈Z))))，则两集合M，N的关系为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x引申探究
本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x－2)≤0))))，则集合A的子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
(2)已知集合A＝{x|－1题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2－x－2>0))，则∁RA等于( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
(2)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－eq \r(5)A．A∩B＝∅ B．A⊆B
C．B⊆A D．A∪B＝R
命题点2 利用集合的运算求参数
例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A＝{x|xA．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2
(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a－1，a＋\f(1,a)))，A∩B＝{0}，则实数a的值为________．
(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A＝{x|－2A．(2,4) B．(－2,4) C．(－2,2) D．(－2,2]
(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
题型四 集合的新定义问题
例4 (1)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝______________.
(2)设数集M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤x≤m＋\f(3,4)))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)≤x≤n))))，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．
跟踪训练3 用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(CA－CB，CA≥CB，,CB－CA，CA1．设集合P＝{x|0≤x≤eq \r(2)}，m＝eq \r(3)，则下列关系中正确的是( )
A．m⊆P B．mP
C．m∈P D．m∉P
2．设集合M＝{－1,1}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)<2))))，则下列结论中正确的是( )
A．NM B．MN
C．N∩M＝∅ D．M∪N＝R
3．设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4<0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B等于( )
A．[2,4) B．{2,4} C．{3} D．{2,3}
4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
5．设集合M＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N＝{x∈R|x2＋3x<0}，则M∩N等于( )
A．{－3，－2，－1,0} B．{－2，－1,0}
C．{－3，－2，－1} D．{－2，－1}
6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2A．{3,5} B．{2,3,5}
C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}
7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
8．已知集合A＝{x|－1A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
9．已知集合P＝{x|y＝eq \r(－x2＋x＋2)，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.
10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|lg3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝________________.
11．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．
12．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.
14．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
15．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1))))，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．
16．已知集合A＝{x|y＝eq \r(x－1)}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a≤x≤2a－1)))).若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋(或N*)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)


真子集
如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A


集合
相等
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}