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2022-2023学年江苏省南京市八年级下册数学第三周测卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省南京市八年级下册数学第三周测卷（含解析），共23页。试卷主要包含了下列问题中，最适合采用全面调查，下列5个数等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市八年级下册数学第三周测卷
一．选择题（共8小题）
1．下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
D．调查某市空气质量情况
2．下列统计图中，最宜反映气温变化的是（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
3．双减政策下，湖南师大附中为了解初中部220名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查
B．220是样本容量
C．100名学生是总体的一个样本
D．每名学生的睡眠时间是一个个体
4．下列5个数：、、、0.21、1.606006000中，无理数出现的频数是（ ）
A．2 B．3 C．0.4 D．0.6
5．某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽量了20名学生在校午餐所需时间，获得如下的数据（单位：分）：10、12、15、10、16、18、19、18、20、18、18、20、28、22、30、20、15、16、21、16．若将这些数据以4分为组距进行分组，则组数是（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
6．如图是某校各年级参加文艺演出的人数统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．七年级的人数最多
B．九年级的男生人数是女生人数的两倍
C．九年级的女生人数比男生人数多
D．八年级的人数比九年级多
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2＝DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①AF＝AE；②∠DAE＝45°；③S△ADE＝AD•EF；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
8．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，函数y＝|2x﹣1|的图象与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（ ）
A．b＜1 B．﹣≤b＜1 C．1＜b＜4 D．0≤b＜1
二．填空题（共6小题）
9．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、13，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ．
10．某校七年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力并对所得数据进行整理．在这个调查过程中样本为 ，某一小组的人数为4人，则在扇形图中该小组的百分比为 %．
11．某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，91，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
12．如图是某班48名同学在一次数学测试中的分数频数分布直方图（分数只取整数），图中从左到右的小长方形的高度比为1：3：6：4：2，由图可知其分数在70.5～80.5范围内的人数是 人．
13．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD＝3，点P为AB上的动点，当∠APC＝∠BPD时，点P的坐标为 ．
14．已知在平面直角坐标系中，A（3，2），点C在x轴上，当k变化时，一次函数y＝（k﹣3）x+k都经过一定点B，则CA+CB最小值为 ．
三．解答题（共6小题）
15．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
16．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
17．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，函数y＝kx+b值的范围是 ；
（3）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y0＝x+t的值都大于函数y＝kx+b的值，则t的取值范围为 ．
18．尺规作图：根据下列条件，分别作等腰△ABC，使得∠A＝120°（保留作图痕迹，写出必要的额文字说明）．
（1）已知腰AB；
（2）已知底边BC．
19．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
20．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 ．
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
D．调查某市空气质量情况
解：A．调查一批灯泡的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，适合使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查某市空气质量情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．下列统计图中，最宜反映气温变化的是（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，
故选：A．
3．双减政策下，湖南师大附中为了解初中部220名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查
B．220是样本容量
C．100名学生是总体的一个样本
D．每名学生的睡眠时间是一个个体
解：A．以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B．100是样本容量，故B不符合题意；
C.100名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C不符合题意；
D．每名学生的睡眠时间是一个个体，故D符合题意；
故选：D．
4．下列5个数：、、、0.21、1.606006000中，无理数出现的频数是（ ）
A．2 B．3 C．0.4 D．0.6
解：、、、0.21、1.606006000中，无理数有：−、，无理数出现的频数是2．
故选：A．
5．某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽量了20名学生在校午餐所需时间，获得如下的数据（单位：分）：10、12、15、10、16、18、19、18、20、18、18、20、28、22、30、20、15、16、21、16．若将这些数据以4分为组距进行分组，则组数是（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
解：根据组数＝（最大值﹣最小值）÷组距（小数部分要进位），
则（30﹣10）÷4＝5，
所以组数为5+1＝6．
故选：C．
6．如图是某校各年级参加文艺演出的人数统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．七年级的人数最多
B．九年级的男生人数是女生人数的两倍
C．九年级的女生人数比男生人数多
D．八年级的人数比九年级多
解：A．七年级人数是8+13＝21，八年级人数为14+16＝30，九年级的人数为10+20＝30，故错误，不符合题意；
B．九年级男生20人，女生10人，故正确，符合题意；
C．九年级男生20人，女生10人，故错误，不符合题意；
D．八年级人数和九年级人数一样多，故错误，不符合题意；
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2＝DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①AF＝AE；②∠DAE＝45°；③S△ADE＝AD•EF；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵FB⊥BC，
∴∠ABF＝∠ABC+∠FBE＝135°＝∠ACE，
∵FA⊥AE，
∴∠FAE＝90°＝∠BAC，
∴∠FAE﹣∠FAC＝∠BAC﹣∠FAC，即∠CAE＝∠BAF，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴AF＝AE，故①正确；
连接DF，如图：
∵△ABF≌△ACE，
∴BF＝CE，
在Rt△DBF中，BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+CE2＝DF2，
∵BD2+CE2＝DE2，
∴DF＝DE，
∵AF＝AE，AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠DAF＝∠DAE，
∵∠DAF+∠DAE＝∠FAE＝90°，
∴∠DAE＝∠FAE＝45°，故②正确；
延长AD交EF于H，如图：
∵AE＝AF，∠FAD＝∠EAD，
∴AH⊥EF，EH＝FH＝EF，
∴S△ADE＝AD•EH＝AD•EF＝AD•EF，故③正确；
在Rt△FBE中，BE2+BF2＝EF2，
∵BF＝CE，
∴BE2+CE2＝EF2，
∵AF＝AE，∠FAE＝90°，
∴EF2＝AE2+AF2＝2AE2，
∴BE2+CE2＝2AE2，故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选：A．
8．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，函数y＝|2x﹣1|的图象与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（ ）
A．b＜1 B．﹣≤b＜1 C．1＜b＜4 D．0≤b＜1
解：如图，
令2x﹣1＝x+b，
解得x＝1+b．
∵函数y＝2x﹣1沿x轴翻折后的解析式为﹣y＝2x﹣1，即y＝﹣2x+1，
∴﹣2x+1＝x+b，
解得x＝．
∵x满足﹣1＜x＜2，
∴，
解得：b＜1．
∵函数y＝2x﹣1的图象与x轴的交点为（，0），当直线y＝x+b经过此点时，b最小，
∴+b＝0，解得b＝﹣．
综上可知，b的取值范围为﹣≤b＜1．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、13，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 1 ．
解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是＝0.875，
又∵第五组的频率是0.1，
∴第六组的频率为1﹣（0.875+0.1）＝0.025，
∴第六组的频数为：40×0.025＝1．
故1．
10．某校七年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力并对所得数据进行整理．在这个调查过程中样本为 被抽查的20名学生的视力情况 ，某一小组的人数为4人，则在扇形图中该小组的百分比为 20 %．
解：某校七年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力并对所得数据进行整理．在这个调查过程中样本为被抽查的20名学生的视力情况，某一小组的人数为4人，则在扇形图中该小组的百分比为＝20%．
故被抽查的20名学生的视力情况；20．
11．某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，91，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
解：跳绳次数在81.5～95.5这一组的有82，83，86，87，88，89，91，共7个数，
则频率是．
故．
12．如图是某班48名同学在一次数学测试中的分数频数分布直方图（分数只取整数），图中从左到右的小长方形的高度比为1：3：6：4：2，由图可知其分数在70.5～80.5范围内的人数是 18 人．
解：分数在70.5～80.5范围内的人数＝48×＝18．
故答案为18．
13．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD＝3，点P为AB上的动点，当∠APC＝∠BPD时，点P的坐标为 ．
解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，AB＝4，
∵点C为AO中点，OD＝3，
∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵∠APC＝∠BPD，
∴△BPD∽△APC，
∴，
∴BP＝AB＝，AP＝AB＝，
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∠ABO＝∠OAB＝45°，
∴PN＝，PM＝，
∴P．
解法二：取PA，AC的中点F，H，连接FH．
∵AF＝PF，AH＝CH，
∴FH∥PC，
∴∠AFH＝∠CPA，
∵∠BPD＝∠CPA，
∴∠BPD＝∠AFH，
由题意BD＝AH＝1，∠PBD＝∠FAH＝45°，
∴△PBD≌△FAH（AAS），
∴PB＝PF＝AF，
接下来方法同上．
故．
14．已知在平面直角坐标系中，A（3，2），点C在x轴上，当k变化时，一次函数y＝（k﹣3）x+k都经过一定点B，则CA+CB最小值为 ．
解：y＝kx﹣3x+k
＝（x+1）k﹣3x，
∵当k变化时，一次函数都过一定点，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝3，
∴B（﹣1，3），
∴点B关于x轴的对称点B′（﹣1，﹣3），
如图，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小，
即CA+CB＝CA+CB′＝AB′，
分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D，
∴D（3，﹣3），
∴B′D＝3﹣（﹣1）＝4，AD＝2﹣（﹣3）＝5，
∴AB′＝＝＝，
故．
三．解答题（共6小题）
15．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 200 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名购买者，
故200；
（2）支付方式为D的有：200×20%＝40（人），
支付方式为A的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1000×＝580（人），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有580人．
16．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
解：（1）选择交通监督的人数是12+15+13+14＝54（人），
选择交通监督的百分比是54÷200×100%＝27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数是360°×27%＝97.2°；
（2）D班选择环境保护的学生人数是200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人），
补全的折线统计图如图所示．
（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）＝950（人），
∴估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．
17．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，函数y＝kx+b值的范围是 y＜2 ；
（3）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y0＝x+t的值都大于函数y＝kx+b的值，则t的取值范围为 t≥1 ．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图像经过（1，2），（3，﹣4）两点，
∴，
解得，
即k的值为﹣3，b的值为5．
（2）∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x＝1，时，y＝2，
∴当x＞1时，y＜2．
故y＜2；
（3）当x≥1时，y＝﹣3x+5≤2，y0＝x+t≥t+1，
∵函数y0＝x+t的值都大于函数y＝kx+b的值，
∴t+1≥2，
解得t≥1．
故t≥1．
18．尺规作图：根据下列条件，分别作等腰△ABC，使得∠A＝120°（保留作图痕迹，写出必要的额文字说明）．
（1）已知腰AB；
（2）已知底边BC．
解：如图，△ABC即为所求．
19．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
20．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 A和B ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 k＜﹣或k＞﹣且k≠0 ．
解：（1）根据题意，对于点A而言，|2|+|2|＝4，
A是“垂距点”，
对于点B而言，||+|﹣|＝4，
B是“垂距点”，
对于点C而言，|﹣1|+|5|＝6≠4，
所以C不是“垂距点”，
故答案为A和B．
（2）根据题意得|m|+||＝4
①当m＞0时，则2m＝4，
解得m＝2，
②当m＜0时，则﹣2m＝4，
解得m＝﹣2，
故m的值为±2．
（3）如图，取E（0，4），F（4，0），G（﹣4，0）．连接EF，EG，在EF上取一点P，作PM⊥OE于M，PN⊥OF于N．
则有四边形PMON是矩形，可得PN＝OM，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝45°
∴PM＝EM，
∴PM+PN＝OM+EM＝4，
∴线段EF或线段EG上的点（不包括端点E，F，G）是“垂距点”，当直线y＝kx+b与线段EF或线段EG有交点时，直线y＝kx+b上存在“垂距点”，
∵直线y＝kx+b，经过点（2，3），
∴3＝2k+b，
∴b＝3﹣2k，
∴直线y＝kx+3﹣2k，
当直线经过E（0，4）时，k＝﹣，
当直线经过F（4，0）时，k＝﹣，
观察图象可知满足条件的k的值为k＜﹣或k＞﹣且k≠0．
故k＜﹣或k＞﹣且k≠0．
2022-2023学年江苏省南京市八年级下册数学第三周测卷
一．选择题（共8小题）
1．下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
D．调查某市空气质量情况
2．下列统计图中，最宜反映气温变化的是（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
3．双减政策下，湖南师大附中为了解初中部220名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查
B．220是样本容量
C．100名学生是总体的一个样本
D．每名学生的睡眠时间是一个个体
4．下列5个数：、、、0.21、1.606006000中，无理数出现的频数是（ ）
A．2 B．3 C．0.4 D．0.6
5．某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽量了20名学生在校午餐所需时间，获得如下的数据（单位：分）：10、12、15、10、16、18、19、18、20、18、18、20、28、22、30、20、15、16、21、16．若将这些数据以4分为组距进行分组，则组数是（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
6．如图是某校各年级参加文艺演出的人数统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．七年级的人数最多
B．九年级的男生人数是女生人数的两倍
C．九年级的女生人数比男生人数多
D．八年级的人数比九年级多
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2＝DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①AF＝AE；②∠DAE＝45°；③S△ADE＝AD•EF；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
8．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，函数y＝|2x﹣1|的图象与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（ ）
A．b＜1 B．﹣≤b＜1 C．1＜b＜4 D．0≤b＜1
二．填空题（共6小题）
9．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、13，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ．
10．某校七年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力并对所得数据进行整理．在这个调查过程中样本为 ，某一小组的人数为4人，则在扇形图中该小组的百分比为 %．
11．某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，91，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
12．如图是某班48名同学在一次数学测试中的分数频数分布直方图（分数只取整数），图中从左到右的小长方形的高度比为1：3：6：4：2，由图可知其分数在70.5～80.5范围内的人数是 人．
13．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD＝3，点P为AB上的动点，当∠APC＝∠BPD时，点P的坐标为 ．
14．已知在平面直角坐标系中，A（3，2），点C在x轴上，当k变化时，一次函数y＝（k﹣3）x+k都经过一定点B，则CA+CB最小值为 ．
三．解答题（共6小题）
15．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
16．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
17．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，函数y＝kx+b值的范围是 ；
（3）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y0＝x+t的值都大于函数y＝kx+b的值，则t的取值范围为 ．
18．尺规作图：根据下列条件，分别作等腰△ABC，使得∠A＝120°（保留作图痕迹，写出必要的额文字说明）．
（1）已知腰AB；
（2）已知底边BC．
19．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
20．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 ．
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
D．调查某市空气质量情况
解：A．调查一批灯泡的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，适合使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查某市空气质量情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．下列统计图中，最宜反映气温变化的是（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，
故选：A．
3．双减政策下，湖南师大附中为了解初中部220名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查
B．220是样本容量
C．100名学生是总体的一个样本
D．每名学生的睡眠时间是一个个体
解：A．以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B．100是样本容量，故B不符合题意；
C.100名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C不符合题意；
D．每名学生的睡眠时间是一个个体，故D符合题意；
故选：D．
4．下列5个数：、、、0.21、1.606006000中，无理数出现的频数是（ ）
A．2 B．3 C．0.4 D．0.6
解：、、、0.21、1.606006000中，无理数有：−、，无理数出现的频数是2．
故选：A．
5．某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽量了20名学生在校午餐所需时间，获得如下的数据（单位：分）：10、12、15、10、16、18、19、18、20、18、18、20、28、22、30、20、15、16、21、16．若将这些数据以4分为组距进行分组，则组数是（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
解：根据组数＝（最大值﹣最小值）÷组距（小数部分要进位），
则（30﹣10）÷4＝5，
所以组数为5+1＝6．
故选：C．
6．如图是某校各年级参加文艺演出的人数统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．七年级的人数最多
B．九年级的男生人数是女生人数的两倍
C．九年级的女生人数比男生人数多
D．八年级的人数比九年级多
解：A．七年级人数是8+13＝21，八年级人数为14+16＝30，九年级的人数为10+20＝30，故错误，不符合题意；
B．九年级男生20人，女生10人，故正确，符合题意；
C．九年级男生20人，女生10人，故错误，不符合题意；
D．八年级人数和九年级人数一样多，故错误，不符合题意；
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2＝DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①AF＝AE；②∠DAE＝45°；③S△ADE＝AD•EF；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵FB⊥BC，
∴∠ABF＝∠ABC+∠FBE＝135°＝∠ACE，
∵FA⊥AE，
∴∠FAE＝90°＝∠BAC，
∴∠FAE﹣∠FAC＝∠BAC﹣∠FAC，即∠CAE＝∠BAF，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴AF＝AE，故①正确；
连接DF，如图：
∵△ABF≌△ACE，
∴BF＝CE，
在Rt△DBF中，BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+CE2＝DF2，
∵BD2+CE2＝DE2，
∴DF＝DE，
∵AF＝AE，AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠DAF＝∠DAE，
∵∠DAF+∠DAE＝∠FAE＝90°，
∴∠DAE＝∠FAE＝45°，故②正确；
延长AD交EF于H，如图：
∵AE＝AF，∠FAD＝∠EAD，
∴AH⊥EF，EH＝FH＝EF，
∴S△ADE＝AD•EH＝AD•EF＝AD•EF，故③正确；
在Rt△FBE中，BE2+BF2＝EF2，
∵BF＝CE，
∴BE2+CE2＝EF2，
∵AF＝AE，∠FAE＝90°，
∴EF2＝AE2+AF2＝2AE2，
∴BE2+CE2＝2AE2，故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选：A．
8．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，函数y＝|2x﹣1|的图象与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（ ）
A．b＜1 B．﹣≤b＜1 C．1＜b＜4 D．0≤b＜1
解：如图，
令2x﹣1＝x+b，
解得x＝1+b．
∵函数y＝2x﹣1沿x轴翻折后的解析式为﹣y＝2x﹣1，即y＝﹣2x+1，
∴﹣2x+1＝x+b，
解得x＝．
∵x满足﹣1＜x＜2，
∴，
解得：b＜1．
∵函数y＝2x﹣1的图象与x轴的交点为（，0），当直线y＝x+b经过此点时，b最小，
∴+b＝0，解得b＝﹣．
综上可知，b的取值范围为﹣≤b＜1．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、13，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 1 ．
解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是＝0.875，
又∵第五组的频率是0.1，
∴第六组的频率为1﹣（0.875+0.1）＝0.025，
∴第六组的频数为：40×0.025＝1．
故1．
10．某校七年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力并对所得数据进行整理．在这个调查过程中样本为 被抽查的20名学生的视力情况 ，某一小组的人数为4人，则在扇形图中该小组的百分比为 20 %．
解：某校七年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力并对所得数据进行整理．在这个调查过程中样本为被抽查的20名学生的视力情况，某一小组的人数为4人，则在扇形图中该小组的百分比为＝20%．
故被抽查的20名学生的视力情况；20．
11．某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，91，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
解：跳绳次数在81.5～95.5这一组的有82，83，86，87，88，89，91，共7个数，
则频率是．
故．
12．如图是某班48名同学在一次数学测试中的分数频数分布直方图（分数只取整数），图中从左到右的小长方形的高度比为1：3：6：4：2，由图可知其分数在70.5～80.5范围内的人数是 18 人．
解：分数在70.5～80.5范围内的人数＝48×＝18．
故答案为18．
13．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD＝3，点P为AB上的动点，当∠APC＝∠BPD时，点P的坐标为 ．
解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，AB＝4，
∵点C为AO中点，OD＝3，
∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵∠APC＝∠BPD，
∴△BPD∽△APC，
∴，
∴BP＝AB＝，AP＝AB＝，
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∠ABO＝∠OAB＝45°，
∴PN＝，PM＝，
∴P．
解法二：取PA，AC的中点F，H，连接FH．
∵AF＝PF，AH＝CH，
∴FH∥PC，
∴∠AFH＝∠CPA，
∵∠BPD＝∠CPA，
∴∠BPD＝∠AFH，
由题意BD＝AH＝1，∠PBD＝∠FAH＝45°，
∴△PBD≌△FAH（AAS），
∴PB＝PF＝AF，
接下来方法同上．
故．
14．已知在平面直角坐标系中，A（3，2），点C在x轴上，当k变化时，一次函数y＝（k﹣3）x+k都经过一定点B，则CA+CB最小值为 ．
解：y＝kx﹣3x+k
＝（x+1）k﹣3x，
∵当k变化时，一次函数都过一定点，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝3，
∴B（﹣1，3），
∴点B关于x轴的对称点B′（﹣1，﹣3），
如图，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小，
即CA+CB＝CA+CB′＝AB′，
分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D，
∴D（3，﹣3），
∴B′D＝3﹣（﹣1）＝4，AD＝2﹣（﹣3）＝5，
∴AB′＝＝＝，
故．
三．解答题（共6小题）
15．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 200 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名购买者，
故200；
（2）支付方式为D的有：200×20%＝40（人），
支付方式为A的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1000×＝580（人），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有580人．
16．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
解：（1）选择交通监督的人数是12+15+13+14＝54（人），
选择交通监督的百分比是54÷200×100%＝27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数是360°×27%＝97.2°；
（2）D班选择环境保护的学生人数是200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人），
补全的折线统计图如图所示．
（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）＝950（人），
∴估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．
17．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，函数y＝kx+b值的范围是 y＜2 ；
（3）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y0＝x+t的值都大于函数y＝kx+b的值，则t的取值范围为 t≥1 ．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图像经过（1，2），（3，﹣4）两点，
∴，
解得，
即k的值为﹣3，b的值为5．
（2）∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x＝1，时，y＝2，
∴当x＞1时，y＜2．
故y＜2；
（3）当x≥1时，y＝﹣3x+5≤2，y0＝x+t≥t+1，
∵函数y0＝x+t的值都大于函数y＝kx+b的值，
∴t+1≥2，
解得t≥1．
故t≥1．
18．尺规作图：根据下列条件，分别作等腰△ABC，使得∠A＝120°（保留作图痕迹，写出必要的额文字说明）．
（1）已知腰AB；
（2）已知底边BC．
解：如图，△ABC即为所求．
19．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
20．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 A和B ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 k＜﹣或k＞﹣且k≠0 ．
解：（1）根据题意，对于点A而言，|2|+|2|＝4，
A是“垂距点”，
对于点B而言，||+|﹣|＝4，
B是“垂距点”，
对于点C而言，|﹣1|+|5|＝6≠4，
所以C不是“垂距点”，
故答案为A和B．
（2）根据题意得|m|+||＝4
①当m＞0时，则2m＝4，
解得m＝2，
②当m＜0时，则﹣2m＝4，
解得m＝﹣2，
故m的值为±2．
（3）如图，取E（0，4），F（4，0），G（﹣4，0）．连接EF，EG，在EF上取一点P，作PM⊥OE于M，PN⊥OF于N．
则有四边形PMON是矩形，可得PN＝OM，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝45°
∴PM＝EM，
∴PM+PN＝OM+EM＝4，
∴线段EF或线段EG上的点（不包括端点E，F，G）是“垂距点”，当直线y＝kx+b与线段EF或线段EG有交点时，直线y＝kx+b上存在“垂距点”，
∵直线y＝kx+b，经过点（2，3），
∴3＝2k+b，
∴b＝3﹣2k，
∴直线y＝kx+3﹣2k，
当直线经过E（0，4）时，k＝﹣，
当直线经过F（4，0）时，k＝﹣，
观察图象可知满足条件的k的值为k＜﹣或k＞﹣且k≠0．
故k＜﹣或k＞﹣且k≠0．
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