2021-2022学年陕西省汉中市六校联考高一下学期期末数学试题(A卷含答案)

陕西省汉中市2021-2022学年高一下学期期末

数学试题(A卷)

一、选择题

1. 宝鸡是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，在月日的“世界环境日”活动中，某校以家庭为单位进行了废塑料袋情况的调查.其中，高二（）班的名学生在一天中调查了各自家庭丢弃废塑料袋的情况，这个问题中名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是（    ）

A. 总体 

B. 样本的数目 

C. 个体 

D. 样本

【答案】D

【解析】

根据样本的概念求解即可．

高二（）班的名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是某校以家庭为单位进行了废塑料袋情况的调查的一个部分，故名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是样本.故选：D

2. 如图是根据，的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图有（    ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】

B

【解析】

通过观察散点图可以得出，前两个散点图有明显的线性相关关系；后两个无明显的线性相关．

由题图知，后两个的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；第一个图中随的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关；第二个图中随的增大而增大，各点整体呈上升趋势，与正相关．故选：B．

3. 用系统抽样的方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生编号为至，按编号顺序分组，若在第组抽出的号码为，则在第一组抽出的号码为（    ）

A.  

B.  

C.  

D.

【答案】

A

【解析】

根据题意求出组距，即可算出答案.

组距：；则第一组抽出来应该为号.故选：A

4. 为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为．现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生到之间的随机整数，用、、、表示堵车，用、、、、、表示不堵车：再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况．经试验产生了如下组随机数：

据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为（    ）

A.  

B.  

C.  

D.

【答案】

A

【解析】

找出表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.

表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组有：、、、、，共组，

所以，这三天中恰有两天堵车的概率近似为.故选：A.

5. 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，若摸出红球的概率为，摸出红球或黄球的概率为，则摸出红球或蓝球的概率为（    ）

A. 

B. 

C. 

D.

【答案】

D

【解析】

根据独立事件的概率公式求解即可.

因为摸出红球的概率为， 摸出红球或黄球的概率为，易得摸出黄球的概率为，摸出蓝球的概率为.故摸出红球或蓝球的概率为.故选：D

6.已知某个数据的平均数为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的平均数和方差分别为（    ）

A.， 

B.， 

C.， 

D.，

【答案】

A

【解析】

依据一组数据的平均数定义和方差定义，再利用题给条件去求这个数的平均数和方差即可解决

设原个数据分别为，，，，，，，，，现又加入一个新数据，此时这个数为，，，，，，，，，则这个数的平均数，这个数的方差

，故选：A.

7. 某班有名学生，男女人数不相等．随机询问了该班名男生和名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数

B. 这名男生成绩的中位数大于这名女生成绩的中位数

C. 这名男生成绩的方差大于这名女生成绩的方差

D.这名女生成绩的众数是和

【答案】

C

【解析】

由平均数、众数、中位数、方差的定义依次求解判断即可.

对于，只能求出该班名男生和名女生的成绩的平均数，无法比较该班男生成绩和女生成绩的平均数，错误；

对于，名男生成绩的中位数为，名女生成绩的中位数为，错误；

对于，名男生成绩的平均数为，名男生成绩的方差为，

名女生成绩的平均数为，名女生成绩的方差为，正确；

对于，这名女生成绩的众数是，错误.故选：.

8. 已知，，，则与的夹角为（    ）

A.  

B.  

C.  

D.

【答案】

D

【解析】

将两边平方，代入，化简可得，再根据向量的夹角公式求解即可.

由可得，即，故，即，设与的夹角为，则，即，又 ，故，故选：D

9. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：

①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；

②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；

③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；

④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.

在上述说法中正确的个数为（    ）

A.  

B.  

C.  

D.

【答案】

C

【解析】

写出从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的所有可能情况，再去辨析各选项的正误，互斥事件不能有交集事件.

设两个红球为球、球，两个黑球为球、球.则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，所有可能的情况为、、、、、共种.

①至少有一个黑球与都是黑球有公共事件，故二者不是互斥事件，判断错误；②至少有一个黑球与至少有一个红球有公共事件、、、，故二者不是互斥事件，判断正确；③恰好有一个黑球包含事件、、、，恰好有两个黑球包含事件，故二者是互斥事件，判断正确；④至少有一个黑球包含事件、、、，都是红球包含事件，故二者是对立事件，判断正确.

故选：C.

10. 在中，，，，，分别是边上的三等分点，则的值是（    ）

A.  

B.  

C.  

D.

【答案】

B

【解析】

以作为基底分别表示出，，再根据平面向量的数量积运算即可求出．

因为，分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，

由可得，，即，同理可得，

，所以．故选：B．

11. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．若实数满足，则的值为（    ）

A.  

B.  

C.  

D.

【答案】

D

【解析】

先由平方关系得，再由倍角公式化简得，最后由诱导公式求解即可.

由题意知，，则，又，则.故选：D.

12. 已知函数，下列说法正确的有（    ）

①函数最小正周期为；

②定义域为

③图象的所有对称中心为；

④函数的单调递增区间为，．

A.个 

B.个 

C.个 

D.个

【答案】

C

【解析】

根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.

对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；对②，令，解得，，即函数的定义域为，所以②错误；对③，令，，解得，，所以函数的图象关于点，对称，所以③正确；对④，令，，解得，，故函数的单调递增区间为，，所以④正确；

故①③④正确；故选：C.

二、填空题

13. 若为第二象限角，且，则_         __．

【答案】

【解析】

由平方关系求出，再由商数关系求得．

因为为第二象限角，且，所以，所以．故答案为：．

14. 如图所示，已知到平行四边形的三个顶点，，的向量分别为，，则________(用，，表示)．

【答案】

【解析】

利用向量线性运算直接推导即可.

.故答案为：.

15. 某程序框图如图所示，运行该程序后输出的值为___．

【答案】

【解析】

根据框图所给的表达式求解即可

由程序框图可得，逐步计算有：

,；否，，；否，，；否，，；否，，；是，输出的，故答案为：.

16. 折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为，扇形所在的圆的半径为，当与的比值约为时，折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______．

【答案】

【解析】

首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；

依题意，，所以，所以；故答案为：.

三、解答题

17. 已知向量，，．

（1）求的值；

（2）若与相互垂直，求的值．

【答案】

（1）   

（2）

【解析】

（1）利用向量平行列方程即可求解；（2）利用向量垂直列方程得到，即可解得.

（1）因为，，，所以

解得：.

（2）由与相互垂直，得：，即，解得：.

18. （1）计算的值；

（2）已知角的终边过点，求的值．

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

（1）根据余弦二倍角公式和诱导公式可得，根据诱导公式以及正弦的二倍角公式可得，进而可求；（2）根据正切定义可得，根据诱导公式可化简，然后弦化切即可求解.

（1）

（2）∵角的终边过点，∴，

．

19. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，求不等式的解集.

【答案】

（1）   

（2）或

【解析】

（1）由可得答案.（2）先解出不等式，再与求交集，从而得到答案.

（1）令，,解得，.

所以，函数单调递增区间为.

（2）不等式，即.则，，即，.当时，，又，所以.当时，，又，所以

所以不等式的解集为或

20. 在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有个小球，小球上分别写有，，，的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．抽奖活动的奖励规则是：①若取出的两个小球上数字之积大于，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于，则奖励饮料一瓶．

（1）求每对亲子获得飞机玩具的概率；

（2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）获得饮料的概率更大.

【解析】

（1）利用列举法求出基本事件总数有个，记“获得飞机玩具”为事件，则事件包含基本事件有个，由此能求出每对亲子获得飞机玩具的概率．（2）记“获得汽车玩具”为事件，“获得饮料”为事件，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，由此能求出每对亲子获得汽车玩具的概率，再由对立事件概率计算公式得每对亲子获得饮料的概率，由此能求出每对亲子获得汽车玩具小于获得饮料的概率．

解：（1）基本事件总数有个，分别为：

，，，，，，，，

，，，，，，，，

记“获得飞机玩具”为事件，则事件包含的基本事件有个，分别为：，，，∴每对亲子获得飞机玩具的概率．

（2）记“获得汽车玩具”事件，“获得饮料”为事件，

事件包含的基本事件有个，分别为：

，，，，，，∴每对亲子获得汽车玩具的概率，每对亲子获得饮料的概率，∴每对亲子获得饮料的概率更大．

21. 已知函数的部分图象如图．

（1）求的表达式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】

（1）   

（2）

【解析】

（1）由图象结合五点法求出函数解析式；（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．

（1）根据图象，可得，，∴，∴，将代入，得，，即，，又，∴，∴．

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得曲线，

由题得，∵在[0，]上有两个不同的实数解，∴在[0，]上有两个不同的实数解．∵，令，∴，则需直线与的图象在有两个不同的公共点．

画出在时的简图如下：

∴实数的取值范围是．

22. 年月习近平总书记到某地的医圣祠考察，总书记说，过去中华民族几千年都是靠中医药治病救人，特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后，我们对中医药的作用有了更深的认识，我们要发展中医药，注重用现代科学解读中医药学原理，走中西医结合的道路．某农科所经过实地考察和研究，发现某地适合种植甲、乙两种药材，通过大量考察研究，得到如下统计数据；药材甲的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：

药材乙的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如图：

（1）若药材甲的单价（单位；元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；

（2）用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断年该地区种植哪种药材收益更高？并说明理由．

参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】

（1）   

（2）甲种药材，理由见解析

【解析】

（1）根据表中的数据，利用公式求解关于的线性回归方程；（2）当时利用回归方程求出年药材甲的收购价，从而可估算出总收入，再利用频率分布直方图求出药材乙的亩产量，再求出药材乙的总收入，然后比较即可

（1）由表中数据，，，，．∴，，∴关于的线性回归方程．

（2）当时．即年药材甲的收购价约为32.9元．

药材乙的平均亩产量约，若种植甲种药材每亩地的收入约为，若种植乙种药材每亩地收入约为，故应该种植甲种药材.