2022-2023学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学

  浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷

1.  化为弧度是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知角的终边经过点，且，则(    )

A. 8 B.  C. 4 D.

3.  已知，，则下列不等关系中必定成立的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.  要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平行移动 B. 向右平行移动 C. 向左平行移动 D. 向右平行移动

5.  在区间上满足的x的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，为锐角，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，若函数恰有2个零点，，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列函数中，周期为1的函数是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  对于任意向量，，，下列命题中不正确的是(    )

A. 若，则与中至少有一个为
B. 向量与向量夹角的范围是
C. 若，则
D.

11.  下列各式中值为1的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知函数，若存在实数a，使得是奇函数，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是__________.

14.  在平行四边形ABCD中，，，，M为BC的中点，则__________用，表示

15.  如图，在半径为1的扇形AOB中，，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是__________.

16.  已知函数恰有3个零点，则m的取值范围是__________.

17.  已知，且
求的值；
求的值．

18.  已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点
求的值；
若角满足，求的值．

19.  已知，，求的值；

求与的夹角.

20.  已知函数的某一周期内的对应值如下表：

根据表格提供的数据求函数的解析式；

根据的结果，若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.

21.  在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：
设，求的值；
若，且，求的最小值及此时的夹角

22.  已知函数，其中
设，，求的值域；
若对任意，，，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查弧度制的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合弧度制的定义，即可求解．

【解答】

解：
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．

【解答】

解：角的终边经过点，且，
，解得
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式的运用，属于基础题.
由，化简即可．

【解答】

解：因为，所以，即；
又因为，所以，即
故选

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的平移，属于基础题．
假设将函数的图象平移个单位得到，根据平移后，求出进而得到答案．

【解答】

解：假设将函数的图象平移个单位得到
，
，
应向右平移个单位.
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数不等式的求解.
利用单位圆三角函数线，求出结果即可.

【解答】

解：在上满足，
由三角函数线可知，满足的解，在图中阴影部分，

故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

设中，A、B、C对的边分别为a、b、c，由得a、b、c关系，代入，再结合基本不等式可解决此题．
本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理，考查数学运算能力，属于中档题．

【解答】

解：设中，A、B、C对的边分别为a、b、c，
由得得，
由余弦定理得，
整理得，代入，
得，
当且仅当即时等号成立，
的最小值为
故选：

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．

【解答】

解：已知，为锐角，且，，
则，整理得，
故，①；
，②；
①+②得：，
故
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

根据绝对值的性质，结合二次函数的性质，函数零点的定义，分类讨论进行求解即可．
本题考查利用分类讨论思想，结合二次函数的性质解题，属中档题．

【解答】

解：当时，，
当时，，
当时，当时，函数单调递增，即，
当时，函数单调递增，即，
当时，函数单调递增，且函数单调递增，且当时，，
当时，，因此函数有一个零点，不符合题意，
当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故函数有最小值，最小值为，
当时，函数单调递减，而，
当，因为，所以有，这时函数有两个零点，且，，设，，显然，
有，，，
，即，而，
即，，或，又，或，
由，，，，而，，，故应舍去，
，
当时，因为，，即，
当时，因为，所以，
此时，，，
，因此有，而，，
综上所述：
故选：

9.【答案】AB 

【解析】

【分析】

直接利用函数的关系式求出函数的最小正周期，进一步判定A、B、C、D的结论．
本题考查三角函数的周期性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

【解答】

解：对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：函数的最小正周期为，故B正确；
对于C：函数的最小正周期为，故C错误；
对于D：函数，故函数的最小正周期；故D错误．
故选：

10.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查向量的夹角，向量的数量积以及向量垂直的有关知识，属于基础题.
利用向量的有关知识逐一判断即可.

【解答】

解：A，若，则当时，与中都可以不为，故A不正确；
B，向量与向量夹角的范围是，故B不正确；
C，若，则，故C正确；
D，因为
，故D正确.
故选：

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查两角和差的三角函数公式及倍角公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．

【解答】

解：，选项A正确；
，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D正确．
故选

12.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的求值，属于中档题．
根据是奇函数，可得，由此可求出，，，对k进行取值，由此即可求出结果．

【解答】

解：根据题意，函数，，
若存在，使得为奇函数，即，
又，
所以，
即，
所以且，，
所以，，，
所以，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以的值可能为，，1，
故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
设这个扇形中心角的弧度数为，半径为利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．

【解答】

解：设这个扇形中心角的弧度数为，半径为
一个扇形的弧长与面积的数值都是5，
，，
解得
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
由查平面向量的线性运算即可求解.

【解答】

解：由，
即，
又，

故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属于中档题．
根据题意，可以得到为等边三角形，则，设，则，利用向量的线性运算，将向已知向量转化，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案．

【解答】

解：，，
为等边三角形，则，
设，则，，


，

，
，
当时，取得最小值为
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系的应用，属于较难题.

先分段求出函数在区间上的零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案.

【解答】

解：令，得；

令，得或，即或，

又所以或或或，

因为恰有3个零点，

所以，当时，有3个零点，，；

当时，有3个零点，，；

所以m的取值范围是

故答案为：

17.【答案】解：由，
得，
即，
，
又，，可得；
，，
即，，
解得或 

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
把等式左边变形，结合倍角公式及角的范围即可求的值；
由中求得的，利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
 

18.【答案】解：的终边过点，则点P在单位圆上，
，，
；
由，得，
则
当时，；
当时， 

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角差的余弦公式，属于基础题．
由已知直接利用任意角的三角函数的定义求得，的值，则答案可求；
由已知求得，再由两角差的余弦公式求解的值．
 

19.【答案】解：由，得，

因为，，所以，所以，

所以

设与的夹角为，因为，

故，

所以，

因为，所以

【解析】本题考查了向量的运算以及求向量的模的方法；根据向量的平方等于向量模的平方，要求向量的模，一般的先求其平方，再开方求模．属于中等题.
要求向量的模，根据向量的平方等于模的平方，先求平方再开方求值．
将已知等式展开，利用向量的数量积公式以及模的平方等于向量的平方求夹角.
 

20.【答案】解：设的最小正周期为T，得，
由，得，
又，解得，
令，即，
，解得，

函数的周期为，

又，，
令，，，

由，得，

故的图象如图：
 

若在上有两个不同的解，则

即，解得，

方程在恰有两个不同的解时，

即实数m的取值范围是

【解析】本题考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查作图能力，属于中档题．
根据表格提供的数据，求出周期T，解出，利用最小值、最大值求出A、B，结合对称轴求出，可求函数的解析式．
函数周期为，求出n，，推出的范围，画出图象，数形结合容易求出m的范围．
 

21.【答案】解：因为，，
所以，
所以，，
所以
设，，
则，
所以
，
当时，取得最小值，为，
又，所以，所以，
所以的最小值为，此时，为 

【解析】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算法则和数量积的运算法则是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．
由向量的减法法则知，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，得解；
设，，，根据平面向量加法法则和平面向量共线定理可得，再结合平面向量数量积，可将表示成关于的函数，然后根据二次函数和余弦函数的性质，即可得解.
 

22.【答案】解：得，
，，
在时是单调递增函数，
而，，故的值域为；
令，，则，
则，，
即为，，所以其图象对称轴为，
故，，，
对任意，，，等价于，
当时，，，
令，解得或，与矛盾，故不符合题意；
当时，，此时，，
令，整理得，，故该式无解，不符合题意；
当时，，此时，，
令，整理得，解得，符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为 

【解析】本题考查三角函数的最值，以及二次函数的最值的求法，属中档题．
求函数的导函数，根据导数的正负判断其单调性，求出函数的值域；
采用换元法，将，变换为再根据在给定区间上二次函数的最值问题的求解方法，求得的最大值，解不等式求得结果．