高中数学高考 2021届高考二轮精品专题三 三角函数与解三角形（理） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题三 三角函数与解三角形（理） 学生版(1)，共33页。试卷主要包含了函数y=Asin的图象及变换，函数y=Asin的性质等内容，欢迎下载使用。

专题 3
××

三角函数与解三角形






命题趋势

1．三角函数的考查大多为三角函数性质与图象的考查，其中三角函数图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，难度中等偏简单．
2．解三角形的考查常与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的综合使用，利用三角恒等变换进行化简等，难度中等偏简单．


考点清单

一、三角函数
1．公式
（1）扇形的弧长和面积公式：
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是．
相关公式：①l=αr
②
（2）诱导公式：

正弦
余弦
正切
α+k⋅2π
sinα
cosα
tanα
α+π
-sinα
-cosα
tanα
-α
-sinα
cosα
-tanα
π-α
sinα
-cosα
-tanα

cosα
-sinα


cosα
sinα


-cosα
sinα


-cosα
-sinα

（3）同角三角函数关系式：
sin2α+cos2α=1，
（4）两角和与差的三角函数：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ


（5）二倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1

（6）降幂公式：
，
2．三角函数性质
性质
y=sinx，x∈R
y=cosx，x∈R
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在区间上是增函数，
在区间上是减函数
在区间[-π+2kπ，2kπ](k∈Z)上是增函数，
在区间[2kπ，π+2kπ](k∈Z)上是减函数
最值
在时，ymax；
在时，ymin
在x=2kπ(k∈Z)时，ymax；
在x=2kπ+π(k∈Z)时，ymin
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)

对称轴

x=kπ(k∈Z)
正切函数的性质
图象特点
定义域为
图象与直线没有交点
值域为R
图象向上、向下无限延伸
最小正周期为π
在区间上图象完全一样
在内是增函数
图象在内是上升的
对称中心为
图象关于点成中心对称
3．函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响

（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

4．函数y=Asin(ωx+φ)的性质
（1）函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)中参数的物理意义

（2）函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的有关性质


二、解三角形
1．正余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容

(为外接圆半径)
；
；

变形形式
，，
；
，，
；
；

；
；

2．利用正弦、余弦定理解三角形
（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．
（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．
在中，已知，和角时，解得情况如下：

为锐角
为钝角或直角
直角图形




关系式




解的个数
一解
两解
一解
一解
上表中为锐角时，，无解．
为钝角或直角时，，均无解．
（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．
（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
3．三角形中常用的面积公式
（1）(表示边上的高）；
（2）；
（3）（为三角形的内切圆半径）．
4．解三角形应用题的一般步骤




精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．若角的终边在直线y=-2x上，则sin2021π+α⋅cosπ-α+cos2α+1=（ ）
A．2 B． C． D．1
2．若将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，平移后图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数f(x)=sinx+3cosx图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，
得到函数gx的图象，则该函数在0，π上的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数fx=2sinωx+φ，的部分图象如图所示，fx的图象过，两点，将fx的图象向左平移个单位得到gx的图象，则函数gx在上的最小值为（ ）

A．-2 B．2 C．-3 D．-1
5．已知函数的周期为π，当时，方程恰有两个不同的实数解x1，x2，则fx1+x2=（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知函数fx=sin2x-2cosx，下列说法正确的是（ ）
①函数fx是周期函数；
②是函数fx图象的一条对称轴；
③函数fx的增区间为；
④函数fx的最大值为．
A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④
7．将函数f(x)=cosx的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，，，则AC+3BC的最大值为（ ）
A．57 B．47 C．37 D．27

二、填空题．
9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆的半径为，则△ABC的面积的最大值为__________．
10．将函数f(x)=2-4sin 2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的范围是______．
11．对于函数f(x)=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx，下列说法：
①函数fx是奇函数；
②函数fx是周期函数，且周期是π；
③函数fx的值域是-2，2；
④函数fx在上单调递增．
其中正确的是_________．（填序号）
三、解答题．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且，求△ABC的面积．











13．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为，求a+b+c的最小值．












14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=3sinB，b2+c2-a2=bc．
（1）求△ABC外接圆的面积；
（2）若BC边上的中线长为，求△ABC的周长．












15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足bcosC=2b-ccosB．
（1）求证：A=2B；
（2）若c=2a，求．













16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若b=10，△ABC的面积为，求△ABC的周长．











17．如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，．记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．
（1）分别求线段PM、PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
（2）求S的最小值．










高频易错题

一、选择题．
1．函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，C是锐角，且a=27，，则△ABC的面积为______．

精准预测题

一、选择题．
1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，则下面叙述正确的是（ ）
A．gx的周期为π B．gx图象的一条对称轴是
C．gx图象的一个对称中心为 D．gx在上单调递减
2．（多选）函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0，φ0，ω>0，)的部分图象如图所示，A为图象与x轴的交点，B，C分别为图象的最高点和最低点，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积．
（1）求△ABC的角B的大小；
（2）若b=3，点B的坐标为，求fx的最小正周期及的值．







9．已知在△ABC中，．
（1）求角C的大小；
（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为4，求周长的最大值．





参考答案

经典训练题

一、选择题．
1．【答案】A
【解析】因为角的终边在直线y=-2x上，所以，
即，即，所以cosα=2sinα，
所以
，
故选A．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．关键点是：构造齐次式，使问题相对容易求解．
2．【答案】B
【解析】将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，
所得的函数为，
由，得，
当k=0时，，故选B．
【点评】本题主要考 查三角函数的图象的平移变换，以及对称性，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】，
将其图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移个单位长度后得到，
令，，得，，
令k=0，得，
因为x∈0，π，所以，
所以函数gx在0，π上的单调递增区间是，故选B．
【点评】已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为或的形式，然后将ωx+φ看成一个整体，根据y=sinx与y=cosx的单调区间列不等式求解．
4．【答案】A
【解析】由图象知，，∴T=2π，则，
∴fx=2sinx+φ，
将点的坐标代入得，，即，
又，∴，则，
将fx的图象向左平移个单位得到函数，
∴gx在上的最小值为，故选A．
【点评】本题主要考了三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质及应用，主要考查学生的运算能力，
转换能力属于基础题．
5．【答案】B
【解析】，
由，得ω=2，．
作出函数fx在上的图象如图：

由图可知，，．
故选B项．
【点评】本题考查正弦型函数的化简及其图象与性质，属于简单题．
6．【答案】D
【解析】T=2π为函数fx=sin2x-2cosx的一个周期，故①正确；
因为，所以不是函数fx的对称轴，故②不正确；
f'x=2cos2x+2sinx=-4sin 2x+2sinx+2=4sinx+2-sinx+1，
令f'x≥0，得，
所以函数fx的增区间为，故③正确；
fx=2cosxsinx-1，T=2π，不妨取x∈0，2π，
又因为求最大值必有fx>0，所以只需考虑，
又可由f'x=4sinx+2-sinx+1>0，
得fx在上单调递增，在上单调递减，
所以函数fx的最大值为，故④正确，
故选D．
【点评】本题主要考查了求三角函数的性质，包括周期性，对称轴，单调性和最值．属于中档题．
7．【答案】A
【解析】函数f(x)=cosx的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，∴周期，
若函数g(x)在上没有零点，
∴ ，∴，
，解得0