高中数学高考 2021届高三大题优练12 导数研究根的个数问题 教师版

例1．已知函数，（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）定义域为，，

令，解得．

当时，在上恒成立，在上单调递增；

当时，若时，；若时，，

在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）令，则，

过点作的切线，设切点为，

则切线斜率，解得，

切线斜率，

若有两个零点，则与有两个不同的交点，

如下图所示：

由图象可知：当时，与有两个不同的交点，

即若函数有两个零点，的取值范围为．

例2．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设函数，若在上有且只有一个零点，求m的取值范围．

【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，

在上单调递增；（2）或．

【解析】（1），

①若，则，∴在R上单调递增；

②若，令，则．

当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

综上，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由题意知，则，

易知在上单调递增，且．

①若，则，∴在上单调递增，

∵在上有且只有一个零点，，，

∴，即，

∴当时，在上有且只有一个零点；

②若，则，，

∴存在，使，即，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，在上有且只有一个零点，

∴，即．

把代入上式可知，

因为，∴，从而．

综上，当或时，在上有且只有一个零点．

例3．已知函数．

（1）当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式；

（2）讨论关于x的方程解的个数．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）当时，函数，

可设，则，

令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

又因为，所以，

设，

因为，所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

所以，解得，所以，

又由，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，最大值为，所以，

综上．

（2）由方程，整理可得，

即，可得，

令，可得，即，

设，可得．

①当时，可得，此时单调递减，

又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；

②当可得，

令，则．

（i）当时，即时，可得，即，此时单调递增，

又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；

（ii）当时，即时，

此时，即方程有两解，

且，，不妨设，

则当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递减，

当时，函数取得极大值，当，函数取得极小值，

又因为，所以，，

当时，，

所以在上有唯一的解．

因为时，，

当时，可得，

所以且，解得，所以在上恰有一根，

所以可得函数在上恰有三根，

综上可得，当或时，方程恰有一根；

当时，方程恰有三根．

1．已知函数在处取得极值．

（1）求实数的值；

（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），在处取得极值，

，所以．

经验证时，在处取得极值．

（2）由（1）知，，

所以极值点为，．

将，，在内的取值列表如下：

由此可得，在内有零点，只需，所以．

2．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

，

所以曲线在点处的切线的斜率．

又，所以切线的方程为，

即，

所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为，，

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

（2）方程，即，

因为，所以分离参数得．

记，则，

记，则，

记，

显然，所以函数在上单调递减，

故当时，，

所以当时，，函数在上单调递减，

而，所以函数在上有且仅有一个零点．

所以当时，，即，函数单调递增；

当时，，即，函数单调递减，

所以当时，，

而，，

由题意，原方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，

即直线与函数的图象有两个不同的交点，

数形结合可得实数的取值范围为．

3．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，函数定义域为，

，，

又，所求切线方程为，

即．

（2）函数在上恰有两个不同的零点，

等价于在上恰有两个不同的实根，

等价于在上恰有两个不同的实根，

令，则，

当时，，在递减；

当时，，在递增，

故，

又，，

，，，

即．

4．已知函数，其中．

（1）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；

（2）讨论在区间上的零点个数．

【答案】（1）或；（2）答案见解析．

【解析】（1）由已知，可得．

①若，则当时，恒成立，

∴在上单调递增，与存在极值点矛盾；

②若，则由，得．

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴存在唯一极小值点，

∴，∴或．

（2）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增．

∵，，

（i）当时，；

（ii）当时，，

∴，

∴由零点存在性定理，知在上有1个零点；

②当时，

∵当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．

（i）当时，，此时在上有1个零点；

（ii）当时，，此时在上无零点；

（iii）当时，，．

（a）当，即时，在上有1个零点；

（b）当，即时，在上有2个零点；

③当时，在上恒成立，在上单调递减．

∵，，

∴在上有1个零点，

综上，当时，在上无零点；

当或或时，在上有1个零点；

当时，在上有2个零点．

5．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，求函数在区间上的零点的个数．（附：对于任意，都有．）

【答案】（1）在，上单调递减，在上单调递增；（2）存在三个零点．

【解析】（1）的定义域为，．

设，

①当，即，，即，

当且仅当，时，，

所以在上单调递减；

②当，即时，

令，得，，且．

所以当时，，；

当时，，，

所以在，上单调递减；

在上单调递增．

（2）由（1）知，当时，在和上单调递减，在上单调递增．

，

又，所以，

又在上单调递增，

所以，，．

令，则．

令，则单调递增，

由，得，

从而可知，当时，，单调递减，

；

所以，所以在上单调递增，

故，即，

又因为，，，，在上单调递减，

所以，故在区间上有一个零点，设为，则．

又，得，而，

所以是的另一个零点．

故当时，函数在区间上存在三个零点．