高中数学高考 2020-2021学年下学期高三3月月考卷 数学（B卷）-教师版

（新高考）2020-2021学年下学期高三3月月考卷

数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数(为虚数单位，)为纯虚数，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】A

【解析】，

因为该复数为纯虚数，所以，，所以，故选A．

2．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，集合，可得，

因为，所以，解得，故选B．

3．已知直线与，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若，则，解得，

则可得“”是“”的必要不充分条件，

即“”是“”的必要不充分条件，故选B．

4．已知正三角形的边长为4，是边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以中点为原点，且令A在轴正半轴上，建立如图坐标系，

则，，，

设，，则，，，

所以，

由，知，

故的取值范围是，故选B．

5．圆上任意一点到直线的距离大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆心为，圆心到直线的距离，如图，

取，过作交圆于，可知满足条件的点在劣弧上（不包括A，B），

在中，，，

所以，，即，

因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为，

由几何概型可知，故选C．

6．函数与 (且)在同一坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，有图象如下：

当时，有图象如下：

故选A．

7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（    ）

A．4秒钟 B．5秒钟 C．6秒钟 D．7秒钟

【答案】B

【解析】1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个；

2秒时，新被杀死的病毒为3个，自身新增长个；

3秒时，新被杀死的病毒为个，自身新增长个；

…

以此类推n秒时，新被杀死的病毒为个，自身新增长个，

故累计杀死病毒数为，

由，得，，解得正整数，

故选B．

8．多项式展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】原式，

所以展开式中含的项包含中项为，

和中的项为，

这两项的系数和为，故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（    ）

A．与一定不垂直 B．二面角的正弦值是

C．的面积是 D．点到平面的距离是常量

【答案】BCD

【解析】对A，当与重合时，，故A错误；

对B，由于是棱上的动点，是棱上的一条线段，

故平面也是平面，

平面，则，，则即为二面角的平面角，

，，，

则，则，故B正确；

对C，由于是棱上的动点，是棱上的一条线段，且，

则，的距离即为三角形的高，

平面，，则即为三角形的高，，故C正确；

对D，由于是棱上的动点，是棱上的一条线段，，

则平面，则点到平面的距离为常量，故D正确，

故选BCD．

10．设表示不超过的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．若，则可由解得的范围是

D．若，则函数的值域为

【答案】ABD

【解析】由题意时，，．

A．设，则，若，则，∴，即，A正确；

B．由的定义，时，，，

同理时，，时，，时，，

∴，B正确；

C．，，若，则，，，满足题意，但也满足题意，C错；

D．，定义域是，

则，

即，是奇函数；

设，，，则，

时，，，

时，，，

∴函数的值域为，D正确，

故选ABD．

11．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线

上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（    ）

A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R

B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a

C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为

D．对于椭圆上一点处的曲率半径随着a的增大而减小

【答案】AC

【解析】圆：，，曲率半径为，A正确；

在椭圆上，

，

∴，，B错误，C正确；

，

令，，，

∴在上随增大而增大，D错误，

故选AC．

12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】ABC

【解析】由，知，

令，则，

∴在上单调递减，即，

当时，；当时，．

A：，有，，

所以；

B：由上得成立，

整理有；

C：由，所以，整理得；

D：令且时，，，，

有，，所以无法确定，的大小，

即无法确定与的大小，

故选ABC．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．

【答案】535

【解析】四个盒子放球的个数如下：

1号盒子：{0，1}

2号盒子：{0，1，2}

3号盒子：{0，1，2，3}

4号盒子：{0，1，2，3，4}

结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：

5=1+4：种

5=2+3：种

5=1+1+3：种

5=1+2+2：种

5=1+1+1+2：种

∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为535．

14．下列说法：

①线性回归方程必过；

②命题“，”的否定是“，”；

③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；

④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系．

其中正确的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）

本题可参考独立性检验临界值表：

【答案】①④

【解析】线性回归方程必过，故①正确；

命题“，”的否定是“，”，故②错误；

相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故③错误；

在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系，故④正确，

故答案为①④．

15．设实数x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．

【答案】

【解析】不等式组对应的可行域如图阴影部分所示，

表示的几何意义为可行域中的动点到直线的距离，

由，可得，同理，

到直线的距离为，

到直线的距离为，

故，故答案为．

16．在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．

【答案】，

【解析】因为，所以，

即，

又因为，所以．

设，，，

则，，

由正弦定理可得，，

又，

由，得．

因为，

所以，

因为，所以，

所以当时，取得最大值，

此时，

所以，，

答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列的前项和为，且，．

（1）求；

（2）设，求使得成立的最小正整数．

【答案】（1）；（2）100．

【解析】（1）由，得，则有，即，

又因为，

故数列是首项为，公比为的等比数列，

所以．

（2）由，

得，

所以，

由，解得，

故使得不等式成立的最小正整数．

18．（12分）已知中角，，所对的边分别为，，，满足

．

（1）求；

（2）若点为上一点，，，平分交于点，，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，

∴，

∴．

∵，∴．

∵，∴．

（2）∵，，，

∴．

在中，设，

由余弦定理得，即，解得(舍负)．

在中，．

由正弦定理得，∴．

19．（12分）如图．在三棱锥中，为正三角形，为的重心，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在．

说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）设，则，

在中，由余弦定理，得．

因为，所以．

因为，，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）如图所示：

取的中点，连接，，则点在上，

在平面内过点作的平行线交于点．

因为，平面，平面，

所以平面．

因为为的重心，所以，

又，所以，

所以在棱上存在点，使得直线平面，此时．

20．（12分）某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取盒作为样本，

测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求a，并试估计这盒产品的该项指标值的平均值；

（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布，计算该批产品该项指标值落在上的概率；

②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于为合格，高于为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品万盒的成本为万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润．

附：若，则，．

【答案】（1），；（2）①；② (万元)．

【解析】（1）由，解得，

则平均值

，

即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200．

（2）①由题意可得，，

则，

则该批产品指标值落在上的概率为．

②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为

则每盒该产品的平均售价为，

故每万盒的平均利润为 (万元)．

21．（12分）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交曲线于两点，且点位于轴上方，记直线，的斜率分别为．

①证明：为定值；

②设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．

【解析】（1）设点坐标为，

则直线的斜率分别为，

依题意知，化简得．

（2）①设直线的方程为，，

则，

又，消得，

得，

因此，

故为定值．

②坐标为，则直线方程为，

令，

解得

，

即直线恒过点，

故

，

当，即时，等号成立，

此时面积最大值为．

22．（12分）已知函数，．

（1）若恒成立，求a的取值集合；

（2）若，且方程有两个不同的根x1，x2，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）令，，

当，恒成立，在R上单调递增，，

当，不合题意，故舍去；

当，，则，

故当，，单调递减；当，；单调递增，

故，

令，，，

故在递增，在递减，

故，即，即，

故，即，故a的取值集合为．

（2）方程有两个不同的根x1，x2，

不妨令，，，

若证，

即证，

令，即证，

令，，