辽宁省大连市甘井子区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

九年级随堂练习卷

数学学科

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）

1．下列事件中是必然事件的是（    ）

A．任意画一个三角形，其内角和是180° B．掷一次骰子，向上一面的点数是6

C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．射击运动员射击一次，命中靶心

2．如图，在中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则（    ）

A． B． C． D．

3．点关于原点对称的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在中，，且AD＝DF＝BF，则为（    ）

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9

5．一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．

6．如图，的半径为6，AB，CD是两条弦，AB＝CD，∠AOB＝120°，则弧CD的长为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，点F在CB的延长线上，则下列角中是旋转角的是（    ）

A．∠DAE B．∠EAB C．∠EAF D．∠DAF

8．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．关于二次函数的图象与性质说法错误的是（    ）

A．开口方向向上 B．对称轴是直线

C．顶点坐标是 D．与x轴交点坐标是，

10．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．直线DE与FG相交于点O，若以点O为圆心，OA为半径作圆，则下列说法错误的是（    ）

A．点B在上 B．是上的外接圆

C．AB是的弦 D．AC是的切线

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．计算：______．

12．某林业部门考察某种幼树在同一条件下的移植成活率，当移植总数为10000棵时，成活数为9000棵，请你估计这种幼树在同一条件下的移植成活的概率为______．

13．一元二次方程的根为______．

14．如图，把以点S为中心逆时针旋转得到，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝32°，则∠E＝______°．

15．如图，为了测量一棵树的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．已知她的眼睛距地面高AB＝1.5m，同时量得BC＝0.3m，CE＝1m，则树的高度DE是______m．

16．观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：

91×99，92×98，…，98×92，99×91．

设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为90+x，则y关于x的函数关系式为______．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17．如图，在中，，，，解这个直角三角形．

18．如图，的直径CD＝10，AB是的弦，AB⊥CD，垂足为M，，求弦AB的长．

19．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

20．如图，中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D．求BD的长．

四．解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面BC的高OA＝2m时，水面宽BC＝4m．

（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；

（2）当水面BC下降1m到达EF时，求水面宽度增加多少m？

22．如图，教学楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（参考数据：，，结果保留小数点后一位）．

23．如图，AB是的直径，BC是的切线，点D，E是上的点，连接BD，DE，AE，延长AE交BC于点C．

（1）求证：∠BDE＝∠CBE；

（2）若BD平分∠ABE，延长BA，ED交于点F，AF＝OB，DF＝4，求DE的长．

五．解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．点D在边AB上，AD＝AC，DE⊥BC，垂足为E，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作BC的垂线，交射线CD于点F．设点P的运动时间为t（s），与重叠部分图形面积为S（）．

（1）请直接写出AB＝______cm；

（2）求CE的长；

（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

25．综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在中，∠BAC＝90°，AE是BC边的中线，延长BA至点D，连接CD，且BD＝CD．求证：∠AEB＝∠D．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．

“如图2，F是CD边的中点，连接AF，将∠AEB绕点E顺时针旋转一定角度，交AF于点M，交AB于点N．在图中找出与AM相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当射线EM经过点D时，若给出BC，BD的边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，当射线EM经过点D时，BC＝6，BD＝5，求AM的长．”

26．如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接BC．

（1）求点B，点C的坐标；

（2）点D为y轴上一点，且AD＝CD，求点D的坐标；

（3）点M为直线BC下方抛物线上一点，连接OM交BC于点N，过点M作轴交BC于点P．

①若ON＝2MN，求点M的横坐标；

②过点M作ME⊥BC，垂足为E，求线段ME的最大值及此时点M的坐标．

九年级随堂练习卷

数学参考答案

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．A  2．C  3．C  4．D  5．B  6．B  7．C  8．A  9．B  10．D

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．1  12．0.9  13．  14．58  15．5  16．（的整数）．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17．解：∵在中，，，，

∴，

∴∠A＝60°，∠B＝90°-∠A＝90°-60°＝30°，．

18．解：∵直径CD＝10，∴．

∵，∴．

∵AB⊥CD，∴，．

∴．

∴AB＝2AC＝8．

19．解：设每个支干长出x个小分支，则，

解得，（不符合题意，舍去）

答：每个支干长出9个小分支．

20．解：∵∠C＝90°，ED⊥AB，∴∠ADE＝∠C＝90°．

∵∠A＝∠A，∴．∴．

∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，∴．

∴BD＝AB-AD＝10-4＝6．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．解：（1）设该抛物线表示的二次函数解析式为，

∵OA＝2m，BC＝4m，

∴抛物线经过点．

∴．

∴．

∴该抛物线表示的二次函数解析式为．

（2）∵当水面BC下降1m到达EF时，∴OD＝3m．

即．

∴．

∴，．

∴．

∴水面宽度增加．

22．解：∵AC⊥CD，∴∠ACB＝90°．

在中，∠ACB＝90°，

∵∠BDC＝45°，CD＝40m，∴∠BDC＝∠CBD＝45°．∴CD＝BC＝40m．

在中，∠ACB＝90°，

∵∠ADC＝50°，CD＝40m，

∴．

∴．

答：旗杆的高度约为7.7m．

23．（1）证明：∵BC是的切线，∴AB⊥BC．

∴∠ABC＝90°．∴∠ABE+∠CBE＝90°．

∵AB是的直径，∴∠AEB＝90°．

∴∠ABE+∠BAE＝90°．∴∠CBE＝∠BAE．

∵，∴∠BDE＝∠BAE．∴∠BDE＝∠CBE．

（2）解：连接OD，

∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．

∵BD平分∠ABE，∴∠EBD＝∠OBD．∴∠EBD＝∠ODB．∴．

∴．∴．

∵AF＝OB，∴FA＝OA＝OB．

∴．

∵DF＝4，∴．∴DE＝2．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．解：（1）5；

（2）如图，∵AB＝5，AD＝AC＝3，∴BD＝2．

∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°．∴．

∴．∴．

∴．∴，．∴．

（3）如图，∵PF⊥CP，DE⊥BC，

∴∠CPF＝∠CED＝90°．∴．

∴．

∴．∴．∴．

①当时，∴．

②如图，当时，

∵PF⊥BC，AC⊥BC，∴∠BPF＝∠BCA＝90°．

∴．∴．∴．

∵BP＝4-t，∴．∴．

∴．

∵．

∴．

综上所述，．

25．（1）证明：∵在中，∠BAC＝90°，AE是BC边的中线，

∴．∴∠B＝∠BAE．

∵BD＝CD，∴∠B＝∠BCD．∴∠BAE＝∠BCD．

∵∠AEB＝180°-∠B-∠BAE，∠D＝180°-∠B-∠BCD，∴∠AEB＝∠D．

（2）猜想：BN＝AM．

证明：∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°．

∵F是CD边的中点，∴．

∴∠D＝∠FAD．∵∠AEB＝∠D，将∠AEB绕点E顺时针旋转得到∠MEN，

∴∠AEB＝∠MEN＝∠FAD．

∵∠FAD+∠MAN＝180°，∴∠MEN+∠MAN＝180°．

∴∠ANE+∠AME＝180°．

∵∠ANE+∠BNE＝180°，∴∠BNE＝∠AME．

∵∠AEB－∠MEN．∴∠AEB－∠AEN＝∠MEN－∠AEN．

即∠BEN＝∠AEM．

∵BE＝AE，∴．

∴BN＝AM．

（3）法一：连接EF，

∵E，F分别是BC，CD的中点，BD＝5，BC＝6，

∴，，．

∵∠B＝∠B，∠AEB＝∠D，∴．

∴．即，∴．

∵BD＝5，∴．

∵，∴∠ADM＝∠FEM，∠DAM＝∠EFM．∴．

∴．∴．即．∴．

（3）法二：连接EF，

∵E，F分别是BC，CD的中点，BD＝5，BC＝6，

∴，，．

∵BD＝CD，BD＝5，E是BC的中点，∴CD＝5，DE⊥BC．

∵，∴．∴∠DEC＝90°．

在中，．

∵，∴．∴．

在，∠DAC＝90°，∴．

∵，∴∠ADM＝∠FEM，∠DAM＝∠EFM．

∴．∴．

∴．即．∴．

26．解：（1）当y＝0时，，解得，．

∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为，点B的坐标为．

当x＝0时，y＝-3，∴点C的坐标为．

（2）如图，设点D坐标为，

∵∠AOD＝90°，∴在中，．

∵AO＝1，OD＝-y，AD＝CD，∴AD＝CD＝OC-OD＝3+y．

∴．∴．∴点D的坐标为．

（3）①设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴．解得．

∴直线BC的解析式为y＝x-3．

设点M坐标为，则点P坐标为，

∴．

∵轴，∴∠OCN＝∠MPN，∠CON＝∠PMN．

∴．∴．

∵ON＝2MN，∴．即OC＝2MP．∴

∴，．∴点M的横坐标为或．

②∵ME⊥BC，OC⊥OB，∴∠MEP＝∠BOC＝90°．

在中，．∴，∴

∵轴，∴∠MPE＝∠BCO．∴．∴．∴．

∴．

∴当时，线段ME的最大值为．此时点M坐标为．