泰安市泰山实验中学2023年初中学业水平数学模拟测试 数学试题
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数学试题(2023.02)
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中选择题48分,非选择题102分,满分150分,考试时间120分钟;
2.选择题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案写在试卷上无效;
3.数学考试不允许使用计算器,考试结束后,应将答题纸和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.)
1.实数2023的相反数是( )
A.2023 B.﹣2023 C. D.-
2.下列各式计算正确的是( )
A.x+x2=x3 B.(x2)3=x5 C.x6÷x2=x3 D.x•x2=x3
3.禽流感病毒的半径大约是0.00000045米,它的直径用科学记数法表示为
A.米 B.米 C.米 D.米
4.对如图的对称性表述,正确的是( )
A.轴对称图形
B.中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形
5.将等腰直角三角形和矩形按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
6.下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表.
成绩(分 | 30 | 25 | 20 | 15 |
人数(人 | 2 | 1 |
若成绩的平均数为23,中位数是a,众数是b,则a-b的值是
A. B. C.2.5 D.5
7.不等式组的非负整数解的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.“其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是( )
A. B. C. D.
9.一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,随机摸出一个小球,记下标号后放回,再随机摸出一个小球并记下标号,两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
10.如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是( )
A.30nmile B.60nmile C.120nmile D.(30+30)nmile
11.如图所示,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则BD的长为( )
A.2 B.4 C.2 D.4.8
12.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心,1为半径画A,E是圆A上一动点,P是BC上一动点,则PE+PD最小值是( )
A.2 B. 2.5 C.4 D.3
第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
题号 | 二 | 三 | 总分 | ||||||
19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |||
得分 |
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注意事项: 1.第Ⅱ卷共5页,用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上;
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分 | 评卷人 |
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二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上.)
13.若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,﹣a﹣3)在第 象限.
14.如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,点B坐标为(0,2),OC与⊙D交于点C,∠OCA=30°,则圆中阴影部分的面积为 .
15.如图矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,连接DE,DB,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为 .
16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有5个结论:①abc>0;
②b>a+c;③9a+3b+c>0; ④c<-3a; ⑤a+b≥m(am+b),其中正确的有是 .
17.如图,过点A0(0,1)作y轴的垂线交直线l:y=x于点A1,过点A1作直线l的垂线,交y轴于点A2,过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3,…,这样依次下去,得到△A0A1A2,△A2A3A4,△A4A5A6,…,其面积分别记为S1,S2,S3,…,则S100为 .
18.如图,矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均为点O,且EG∥BC,将矩形折叠,使点C与点O重合,折痕MN过点G.若AB=,EF=2,∠H=120°,则DN的长为 .
三、解答题(本大题共7个小题,共78分,解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。)
19.(本题共6分)先化简,再求值:)先化简,再求值:
(1﹣)÷ ,其中x=+1.
20.(本题共11分)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间,乙种风格客房20间.按现有定价:若全部入住,一天营业额为8500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元.
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元?
(2)度假村以乙种风格客房为例,市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有两个房间空闲.如果游客居住房间,度假村需对每个居住房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润w最大,最大利润是多少元?
21.(本题共10分)某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种:A.白开水,B.瓶装矿泉水,C.碳酸饮料,D.非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题
(1)这个班级有多少名同学?并补全条形统计图;
(2)若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶,价格如下表),则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元?
饮品名称 | 白开水 | 瓶装矿泉水 | 碳酸饮料 | 非碳酸饮料 |
平均价格(元/瓶) | 0 | 2 | 3 | 4 |
(3)为了养成良好的生活习惯,班主任决定在饮用白开水的5名班委干部(其中有两位班长记为A,B,其余三位记为C,D,E)中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员,请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率.
22.(本题共11分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4)、B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M、N两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出kx+b﹣>0中x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
23.(本题共13分)如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
(1)求证CG=BH; (2)FC2=BF·GF; (3) =
24.(本题共14分)已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)求出二次函数表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,求出此时点N的坐标,并说明理由;
(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
25.(本题共13分)在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.
(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系和位置关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)若|CF-AE|=2,EF=2,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
2023年初中学业水平模拟测试
数学参考答案
阅卷须知:
1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可;
2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者相应给分;
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | B | B | B | C | B | A | D | D | C | C |
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分。)
13.四 ;14.2π﹣2; 15.; 16.②④⑤ ;17.3×2395;18..
三、解答题
19.解:原式= …………4分
将+1代入得:原式=…………2分
20.解:(1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元,.…………1分
由题意得:…………2分
解得…………2分
答:甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元;
(2)设当每间房间定价为x元,
w=(x-80)(20﹣×2)=-(x-240)2+2560…………4分
∴当x=240时,m取得最大值,此时w=2560(元)……2分,
答:当每间房间定价为240元时,乙种风格客房每天的利润w最大,最大利润是2560元.
21.解:(1)这个班级的学生人数为15÷30%=50(人)…………2分
选择C饮品的人数为50﹣(10+15+5)=20(人)…………1分
补全图形如下…………1分:
(2)=2.2(元)…………2分
答:该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元;
(3)画树状图如下:
由树状图知共有20种等可能结果,其中恰好抽到2名班长的有2种结果,
所以恰好抽到2名班长的概率为=…………4分
22.解:(1)∵点A 在反比例函数y=上,
∴=4,解得m=1,
∴点A的坐标为(1,4)…………1分,
又∵点B也在反比例函数y=上,
∴=n,解得n=2,
∴点B的坐标为(2,2)…………1分,
又∵点A、B在y=kx+b的图象上,
∴,解得,
∴一次函数的解析式为y=﹣2x+6…………2分
(2)根据图象得:kx+b﹣>0时,x的取值范围为x<0或1<x<2…………4分
(3)∵直线y=﹣2x+6与x轴的交点为N,
∴点N的坐标为(3,0),
S△AOB=S△AON﹣S△BON=×3×4﹣×3×2=3…………3分
23.解:(1 )∵BF⊥AE,CG∥AE,
∴ CG⊥BF.
∴∠BGC=90o
∵在正方形ABCD中,∠ABH+∠CBG=90o, ∠CBG+∠BCG=90o,
∴∠ABH=∠BCG,∠AHB=∠BGC=90o, AB=BC,
∴△ABH≌△BCG,
∴CG=BH…………4分
(2)∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90o,
∴△CFG∽△BFC,
∴FC:BF=FG:FC
∴FC2=BF·GF;…………4分
(3)∠GBC=∠FBC, ∠BCF=∠CGB=90o,
∴△BCG∽△BFC,
∴BC:BF=GB:BC
∴BC2=BF·GB
∵AB=BC,
∴AB2=BF·GB
∴AB2·GF=BF·GF·GB
∵FC2=BF·GF
∴AB2·GF= FC2·GB
∴=…………5分
24.解(1) ∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),
∴,解得.
∴抛物线表达式:y=﹣x2+x+4…………3分
(2)△ABC是直角三角形.
令y=0,则﹣x2+x+4=0,解得x1=8,x2=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,0),
由已知可得,在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形…………3分
(3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC=4,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4,0)
③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0)…………4分
(4)如图,AB=2,BC=8﹣(﹣2)=10,AC=4,
∴AB2+AC2=BC2,
∴∠BAC=90°.
∴AC⊥AB.
∵AC∥MN,
∴MN⊥AB.
设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,
∵MN∥AC,△BMN∽△BAC
∴=,
∴=,
BM==,MN==,
AM=AB﹣BM=2﹣=
∵S△AMN=AM•MN=××
=﹣(n﹣3)2+5,
当n=3时,△AMN面积最大是5,
∴N点坐标为(3,0).
∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0)…………4分
25.解:(1)OE=OF.…………1分
(2)OE=OF,OE⊥OF…………1分
理由如下:
如图,延长EO交CF于点K.
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,
∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠BAE=∠CBF.
∵AB=BC,
∴△ABE≌△BCF,
∴BE=CF,AE=BF.
∵AE⊥BE,CF⊥BE,
∴AE∥CK,
∴∠EAO=∠KCO.
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,
∴△AOE≌△COK,
∴AE=CK,OE=OK,
∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,
∴OE=OF,OE⊥OF…………7分
(3)OP的长为-或…………4分
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