高中物理人教版 (2019)必修 第三册3 电势差与电场强度的关系课时训练

3　电势差与电场强度的关系

[学习目标]　1.知道电势差与电场强度的关系式，了解其适用条件.2.会用关系式U＝Ed处理匀强电场问题.3.知道电场强度的另一种求法，理解电场强度的另一个单位“伏(特)每米”的意义.

一、匀强电场中电势差与电场强度的关系

1.匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积.

2.公式：UAB＝Ed.

二、公式E＝的意义

1.意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与这两点沿电场强度方向的距离之比.

2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势.

3.电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m.

1 V/m＝1 N/C.

1.判断下列说法的正误.

(1)公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差.(　×　)

(2)根据公式UAB＝Ed，在匀强电场中A点和B点间的距离越大，则这两点的电势差越大.(　×　)

(3)在匀强电场中，沿电场线方向，相同距离上降低的电势必相等.(　√　)

(4)由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与

两点间距离d成反比.(　×　)

2.如图1所示，在场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为         V.

图1

答案　1.0

解析　U＝Edcos 60°＝1.0×102×2.0×10－2× V＝1.0 V.

一、匀强电场中电势差与电场强度的关系

导学探究　公式E＝对任何电场都适用吗？式中d指的是两点间的距离吗？

答案　公式E＝只适用于匀强电场，公式中的d指的是两点沿电场方向的距离，而不是两点间的距离.

知识深化

1.公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场.

2.由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势.式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离.

3.电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.

(2021·福建漳州市高二期末)如图2，在水平向右的匀强电场中，AB间距离L＝4 m，与水平方向夹角为60°，A、B间电势差UAB＝16 V，求：

图2

(1)电场强度E的大小；

(2)电荷量q＝－2×10－7 C的点电荷从A点运动到B点，静电力所做的功.

答案　(1)8 V/m　(2)－3.2×10－6 J

解析　(1)A、B两点沿电场线方向的距离为d＝Lcos 60°＝2 m

则电场强度为E＝

解得E＝8 V/m

(2)依题意得WAB＝qUAB

解得WAB＝－3.2×10－6 J.

如图3所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.

图3

(1)求P板及A点的电势.

(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？

答案　(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V

解析　板间场强方向水平向左，可知Q板电势最高.Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值.

(1)场强大小E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1

Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V

所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V

(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm

Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm

电场强度大小E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1

Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V

所以A点电势φA′＝－10 V.

1.电势差的三种求解方法

(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解.

(2)应用关系式UAB＝来求解.

(3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解.

2.在应用关系式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断.

针对训练1　(2021·青海西宁市高二期末)带有等量异种电荷，相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图4，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下.电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm.下列说法正确的是(　　)

图4

A.UCD＝1 000 V

B.让B板接地，则C点的电势φC＝600 V

C.让A板接地，则D点的电势φD＝400 V

D.将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同

答案　B

解析　CD两点间的电势差为UCD＝－EdCD＝－2×104×(0.1－0.02－0.03) V＝－1 000 V，故A错误；让B板接地，B板电势为零，则C点电势φC＝EdCB＝2×104×3×10－2 V＝600 V，故B正确；让A板接地，A板电势为零，则D点电势φD＝－EdDA＝－400 V，故C错误；将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功在数值相同，故D错误.

二、利用E＝定性分析非匀强电场

U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.

(1)在非匀强电场中，U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间电场强度的平均值.

(2)当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密.

(3)非等势面上距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小.

(1)某一电场的电场线和等势面如图5甲所示，已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，则(　　)

A.φb＝4 V   B.φb＞4 V

C.φb＜4 V   D.上述情况都有可能

(2)若电场线和等势面如图乙所示，其他条件不变，则答案为(1)中的(　　)

图5

答案　(1)A　(2)C

解析　(1)根据匀强电场关系式U＝Ed可知，φa－φc＝E·，φa－φb＝E·，得φb＝4 V，选项A正确.

(2)由于题图乙是非匀强电场，不能根据U＝Ed进行定量计算，只能进行定性分析，由电场线的疏密可知ab和bc间电场强度的平均值Eab＞Ebc，所以Uab＞Ubc，即φa－φb＞φb－φc，得到φb＜＝4 V，C正确.

针对训练2　(2021·临颍县南街高级中学高二期末)如图6所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列.A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上.A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)

图6

A.一定等于6 V   B.一定低于6 V

C.一定高于6 V   D.无法确定

答案　B

解析　根据点电荷场强公式可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6 V，故选B.

考点一　公式UAB＝Ed或E＝的理解及简单应用

1.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.由公式E＝得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比

B.由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小

C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离的乘积

D.公式E＝只适用于匀强电场

答案　CD

2.如图1所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为(　　)

图1

A.竖直向下，E＝0.4 V/m

B.水平向右，E＝0.4 V/m

C.水平向左，E＝40 V/m

D.水平向右，E＝40 V/m

答案　D

解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确.

3.如图2所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ<)，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为(　　)

图2

A.U＝Er   B.U＝Er(sin θ＋1)

C.U＝Er(cos θ＋1)   D.U＝2Er

答案　C

解析　由U＝Ed知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C项正确.

4.(2020·陕西咸阳实验中学高二月考)空气中的负离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法.如图3所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电，电压达5 000 V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为－1价离子)，使空气清新化.针状负极与环形正极间距为5 mm，且视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力大小为F，则(　　)

图3

A.E＝103 N/C，F＝1.6×10－16 N

B.E＝106 N/C，F＝1.6×10－16 N

C.E＝103 N/C，F＝1.6×10－13 N

D.E＝106 N/C，F＝1.6×10－13 N

答案　D

解析　针状负极与环形正极间的电场为匀强电场，所以E＝＝ V/m＝106 V/m；负氧离子受力F＝qE＝1.6×10－19×106 N＝1.6×10－13 N，故选D.

5.如图4所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，静电力做功为(　　)

图4

A.1.6×10－7 J   B.1.2×10－7 J

C.－1.6×10－7 J  D.－1.2×10－7 J

答案　C

解析　B、M在同一等势面上，正电荷由B点移动到M点静电力不做功.由M点移动到A点静电力做功为WMA＝－WAM＝－qUAM＝－qE·＝－2×10－9×2×103×4×10－2 J＝－1.6×10－7 J，即静电力做功为－1.6×10－7 J，故选C.

考点二　用U＝Ed定性分析非匀强电场

6.如图5所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是(　　)

图5

A.电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小

B.电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大

C.电势差UAB＝UBC

D.电势φA<φB<φC

答案　B

解析　由等势线分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，选项A、D错误；根据电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB<EBC，可知电势差UAB<UBC，选项C错误.

7.(多选)如图6所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是(　　)

图6

A.M点的电势比P点的电势高

B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功

C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差

D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差

答案　AD

解析　根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确.将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误.根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确.

8.(2020·河北石家庄市期中)如图7所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm.把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点，静电力做的功为零；从B点移到C点，静电力做的功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是(　　)

图7

A.865 V/m，垂直AC向左

B.865 V/m，垂直AC向右

C.500 V/m，垂直AB斜向下

D.1 000 V/m，垂直AB斜向下

答案　D

解析　把电荷q从A点移到B点，静电力做的功为零，说明A、B两点在同一等势面上，由于该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB是一条等势线，场强方向应垂直于等势线，选项A、B错误.UBC＝＝ V＝－173 V，B点电势比C点电势低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向垂直于AB斜向下，场强大小E＝＝ V/m≈1 000 V/m，因此选项D正确，C错误.

9.如图8所示，在匀强电场中，一带电荷量为q＝5.0×10－10 C的正点电荷，由a点移到b点和由a点移到c点，静电力做的功都是4.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，＝10 cm，θ＝37°.cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6.求：

图8

(1)a、b两点间的电势差；

(2)匀强电场场强的大小和方向.

答案　(1)80 V　(2)1 000 V/m　场强方向与ac平行且由a指向c

解析　(1)Uab＝＝ V＝80 V.

(2)因为把正点电荷从a移到b和从a移到c静电力做的功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，由匀强电场的电场线和等势面垂直及沿电场线方向电势降低可知，场强方向与ac平行且由a指向c.由U＝Ed得E＝＝＝ V/m＝

1 000 V/m.

10.如图9所示，M、N两极板间匀强电场的场强大小E＝2.4×104 N/C，方向竖直向上.电场中A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场方向的夹角θ＝60°，A点和M板间的距离为2 cm.

图9

(1)此时UAB等于多少？

(2)一正点电荷的电荷量q＝5×10－8 C，它在A、B两点的电势能之差为多少？若M板接地，A点电势是多少？B点电势是多少？

答案　(1)1 200 V　(2)6×10－5 J　－480 V　－1 680 V

解析　(1)由U＝Ed得A、B两点间的电势差UAB＝E·cos θ＝2.4×104×10×10－2×0.5 V＝1 200 V.

(2)正点电荷在电势高处电势能大，它在A、B两点间的电势能之差为EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8×

1 200 J＝6×10－5 J.若M板接地，M板电势为0，UMA＝φM－φA＝E·＝480 V.则φA＝－480 V，φB＝φA－UAB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V.

11.(2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考)如图10所示，a、b、c、d是以O点为圆心的圆弧上的四个点，该圆的半径R＝5 m.a、b、c、d也在xOy坐标系的x轴和y轴上，匀强电场的方向与x轴正方向成θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，已知O点的电势为零，a点的电势为4 V，则下列说法正确的是(　　)

图10

A.匀强电场的场强E＝2 V/m

B.b点电势为2.5 V

C.将一个电荷量为－1 C的试探电荷从b点移到d点，静电力做功为6 J

D.将一个电荷量为＋1 C的试探电荷从a点移到c点，试探电荷的电势能减少8 J

答案　D

解析　a、O之间沿电场线方向的距离为d＝Rsin 53°＝4 m，a、O间电势差U＝4 V，则电场强度的大小为E＝＝1 V/m，故A错误；b、O之间沿电场线方向的距离为x＝Rcos 53°＝3 m，b点电势为φb＝Ex＝1×3 V＝3 V，故B错误；b、d两点间的电势差为Ubd＝2ERcos 53°＝2φb＝6 V，静电力做功Wbd＝qUbd＝－1×6 J＝－6 J，故C错误；a、c两点间的电势差为Uac＝2ERsin 53°＝8 V，静电力做功Wac＝qUac＝1×8 J＝8 J，则电势能减少8 J，故D正确.

12.一根长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图11所示的水平向右的匀强电场中.开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零.求：(不计空气阻力，重力加速度为g)

图11

(1)A、B两点的电势差UAB；

(2)匀强电场的场强大小.

答案　(1)－　(2)

解析　(1)小球由A到B过程中，由动能定理得

mgLsin 60°＋qUAB＝0，

所以UAB＝－.

(2)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系，

可得E＝＝.