中考数学一轮知识复习和巩固练习考点02 整式与因式分解（能力提升） (含详解)

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考向02整式与因式分解—能力提升【知识梳理】考点一、整式
1.单项式
　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．方法指导：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式
　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．方法指导：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式
　　单项式和多项式统称整式．
    4.同类项
　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．
    5.整式的加减
　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．
　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
    6.整式的乘除
　　①幂的运算性质：
　　　
　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　　平方差公式：完全平方公式：
　　　           
　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
 方法指导：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）公式的推广： (，均为正整数)（4）公式的推广： (为正整数). 考点二、因式分解1.因式分解
　　 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．
    2.因式分解常用的方法    （1）提取公因式法：    （2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 方法指导：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.   【能力提升训练】一、选择题1. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（    ）    A．61，63      B．63，65      C．61，65      D．63，672.乘积应等于（   ）A．     B．     C．       D．3．已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值为（　　）A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．的个位数字是(     )A．2             B．4                C．6                D．85．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（    ）   A.      B.          C.         D. 6．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） 　A．2cm2 B． 2acm2 C． 4acm2 D． （a2﹣1）cm2二、填空题7． 已知，，那么P，Q的大小关系是          ．8．已知，则＝          ．9．若n 是正整数，且，则＝__________.10. （1）如果，那.（2）已知，则        .11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.12.图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：　          　．          三、解答题13.若关于x的多项式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，求m，n的值．      14．将下列各式分解因式：（1）；      （2）；    （3）；   （4）.   15. 若二次三项式能被 整除，试求的值．      16.已知：求的值.                   答案与解析1.【答案】B；【解析】              2.【答案】D；【解析】       3.【答案】B；  【解析】∵x2+x﹣1=0，∴x2+x=1，∴x3﹣2x+1=x（x2﹣x）+x2﹣2x+1=x+x2﹣2x+1=（x2﹣x）+1=1+1=2．故选：B．4.【答案】C；【解析】的个位数字等于的个位数字．∵;  ．∴的个位数字等于9＋7的个位数字．则 的个位数字是6．5.【答案】B；  【解析】，由题意得，，所以.6.【答案】C；  【解析】 矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1），=4a（cm2），故选C． 二、填空题7．【答案】P＝Q；【解析】∵          ∴ P＝Q.8．【答案】－5；【解析】原式　　　　　  ∵∴ 原式＝＝－5.9．【答案】200；  【解析】.10.【答案】（1）－4；（2）1；   【解析】（1）原式               .          （2）∵∴；          ∴；∴，.11.【答案】10；   【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.12.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；【解析】如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，面积为：a2+2ab+b2；∴a2+2ab+b2=（a+b）2．故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2     三、解答题13.【答案与解析】解：∵多项式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，∴2m﹣1=0，3n﹣2=0，解得m=，n=，∴m=，n=． 14.【答案与解析】（1）；（2）；（3）；（4）. 15.【答案与解析】     因为     所以，解得. 16.【答案与解析】∵∴∵∴∴∴∴∴.