中考数学一轮知识复习和巩固练习考点02 整式与因式分解（基础巩固） (含详解)

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考向02整式与因式分解—基础巩固【知识梳理】考点一、整式
1.单项式
　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．方法指导：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式
　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．方法指导：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式
　　单项式和多项式统称整式．
    4.同类项
　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．
    5.整式的加减
　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．
　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
    6.整式的乘除
　　①幂的运算性质：
　　　
　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　　平方差公式：完全平方公式：
　　　           
　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
 方法指导：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）公式的推广： (，均为正整数)（4）公式的推广： (为正整数). 考点二、因式分解1.因式分解
　　 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．
    2.因式分解常用的方法    （1）提取公因式法：    （2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 方法指导：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.   【基础巩固训练】一、选择题1.下列计算中错误的是(    )A. B.C. D.2. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是(    )A.   B.C. D.3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（    ）A．        B．       C．       D．4．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（　　）A．1     B．﹣2   C．﹣1  D．25. 如果，则为 (　   )A．5　　　   B．－6　　　   C．－5　　　 D．66．把进行分组，其结果正确的是（    ）　 A. 　　  B. 　C. 　　  D. 二、填空题7．已知，则的值为       ．8．(1)已知＝3，＝2，__________．(2)已知＝6，＝8，___________．9．分解因式：_________________．10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　  　（填写序号）．①（a+b）2=a2+2ab+b2      ②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）  ④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．11．多项式可分解为，则,的值分别为_________.12.分解因式：＝__      ______. 三、解答题13．将下列各式分解因式：（1）；          （2）；    （3）；       （4）.     14.（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2　   　1；当x=1时，代数式x2﹣2x+2　    　1；…（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．           15. 已知 ，求下列代数式的值：(1)； (2).           16.若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.小明是这样做的： 解：∵，∴.        即        ∵，∴.        ∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题： 已知： 为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.                 答案与解析一、选择题
1.【答案】D；  【解析】.2.【答案】C；  【解析】这个多项式为.3.【答案】D；【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.4.【答案】C；  【解析】∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C．5.【答案】B；  【解析】由题意.6.【答案】D；  【解析】原式＝.二、填空题7．【答案】5；【解析】由得．∴  ．8．【答案】(1)；(2)；  【解析】（1）；（2）.9．【答案】；【解析】原式令，.10．【答案】 ③；   【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故可以验证③．故答案为：③．11．【答案】；   【解析】，所以，.12.【答案】；【解析】.三、解答题13.【答案与解析】（1）；（2）.（3）；（4）因为所以：原式                  14.【答案与解析】解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；把x=1代入x2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1，故答案为：＞，=；（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1≥1；（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．15.【答案与解析】（1）                    ∴.（2）已知两边同除以，得     ∴     ∴.16.【答案与解析】     ∵    ∴          ∴    ∴，该三角形是等边三角形