2021年河南省中考数学真题 含详解

2021年河南省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是

A. 2 B.  C.  D.

2. 河南省人民济困最“给力”据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到亿元数据“亿”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是

A. 四条边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形

7. 若方程没有实数根，则m的值可以是

A.  B. 0 C. 1 D.

8. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，▱OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点将绕点O顺时针旋转得到，当点D的对应点落在OA上时，的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为

A.
B.
C.
D.

10. 如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为

1. 
   4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
12. 请写出一个图象经过原点的函数的详解式______ ．
13. 某外贸公司要出口一批规格为200克盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，他们的价格相同，品质也相近质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是______ 填“甲”或“乙”．

14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，，则的长为______ ．

15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ．

三、解答题(本大题共8小题，共75.0分)

16. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 2021年4月，教育部印发关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．

平均每天睡眠时间时分为5组：；；；；．
根据以上信息，解答下列问题：
本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第______ 填序号组，达到9小时的学生人数占被
调查人数的百分比为______ ；
请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．






 

18. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．
    求反比例函数的详解式；
    求图中阴影部分的面积．
     

19. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为，头底部C的仰角为，求佛像BD的高度结果精确到参考数据：，，．

20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”．
    小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，当AP与相切时，点B恰好落在上，如图2．
    请仅就图2的情形解答下列问题．
    求证：；
    若的半径为5，，求BP的长．

21. 猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如下表：

第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
小李第二次进货时采取了中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
注：利润率






 

22. 如图，抛物线与直线把交于点和点B．
    求m和b的值；
    求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
    点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
     

23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：

小明得出≌的依据是______ 填序号．

小军作图得到的射线0P是的平分线吗？请判断并说明理由．
如图3，已知，点E，F分别在射线OA，OB上，且点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且，连接DE，CF，交点为P，当时，直接写出线段OC的长．

答案和详解

1.【答案】A
 

【详解】解：的绝对值是2，
即．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】B
 

【详解】解：亿，
故选：B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
 

【详解】解：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，中间一层有两个正方形，最下面有三个正方形，且左侧是对齐的，
故选：A．
将图形分成三层，第一层主视图有一个正方形，第二层有两个正方形，第三层有三个正方形，且左边是对齐的．
本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象能力．
4.【答案】C
 

【详解】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：C．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
 

【详解】解：由图得的补角和是同位角，
且，
的同位角也是，
，
故选：D．
先根据图得出的补角，再由得出结论即可．
本题主要考查平行线的性质，平行线的性质与判定是中考必考内容，平行线的三个性质一定要牢记．
6.【答案】B
 

【详解】解：菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的基本性质并能正确分析推理是解题的关键．
7.【答案】D
 

【详解】解：关于x的方程没有实数根，
，
解得：，
只能为，
故选：D．
根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、b、c为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
8.【答案】A
 

【详解】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为，
故选：A．
画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
9.【答案】B
 

【详解】解：延长交y轴于点E，延长，由题意的延长线经过点C，如图，

，
，，
．
由题意：≌，
，，，，．
则，OA平分，
为等腰三角形．
，．
，，
∽．
．
．
．
．
故选：B．
延长交y轴于点E，延长，由题意的延长线经过点C，利用点A的坐标可求得线段AD，OD，OA的长，由题意：≌，可得对应部分相等；利用，OA平分，可得为等腰三角形，可得，；利用∽，得到比例式可求线段OC，则点C坐标可得．
本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
10.【答案】C
 

【详解】解：由函数图象知：当，即P在B点时，．
在中，
三角形任意两边之差小于第三边，
，
当且仅当P与E重合时有：PA一．
的最大值为AE，
．
在中，由勾股定理得：，
设BE的长度为t，
则，
，
即：，
，
由于，
，
，
．
．
故选：C．
当，即P在B点时，；在中，根据三角形任意两边之差小于第三边得：，当且仅当P与E重合时有：PA一，得y的最大值为；在中，由勾股定理求出BE的长，再根据求出BC的长．
本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
11.【答案】
 

【详解】解：依题意得：，
解得，
故答案为：．
分式有意义时，分母，据此求得x的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．
12.【答案】答案不唯一
 

【详解】解：依题意，一次函数的图象经过原点，
函数详解式的常数项为0，如答案不唯一．
故答案为： 答案不唯一．
图象经过原点，要求详解式中，当时，，只要一次函数详解式常数项为0即可．
本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过原点．
13.【答案】甲
 

【详解】解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小，
所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，
所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
故答案为：甲．
由于平均质量相同，根据图中所示两组数据波动大小可得两组数据的方差，波动越小，方差越小越稳定．
本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】
 

【详解】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．

，，
的长．
故答案为：．
如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
15.【答案】或
 

【详解】解：点恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设交AB边于点E，如图，

由题意：≌≌，垂直平分线段．
则，．
，，，
．
，
．
．
在中，
，
，
．
点恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，

由题意：≌≌，；
则，．
，，
，
．
综上，线段的长为：或．
故答案为：或．
分两种情形解答：点恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，由题意：≌≌，则，；垂直平分线段；利用，可求得CE，则，解直角三角形可求线段；点恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，由题意：≌≌，则，，；在中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论．
16.【答案】解：原式
；

原式
．
 

【详解】直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根、零指数幂的性质分别化简得出答案；
将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则化简得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17.【答案】 
 

【详解】解：由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数，
故落在第组；
睡眠达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为：，
故答案为：，．
答案不唯一，言之有理即可．
例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业．
由中位数的定义即可得出结论；
求出每天睡眠时间达到9小时的学生人数，计算即可．
本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取正确是解题的关键．
18.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的详解式为；
小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
设B点的坐标为，
反比例函数的图象经过B点，
，
，
小正方形的面积为，
大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且，
大正方形在第一象限的顶点坐标为，
大正方形的面积为，
图中阴影部分的面积大正方形的面积为小正方形的面积．
 

【详解】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的详解式；
先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数的详解式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
19.【答案】解：根据题意可知：，
，
在中，，，
，
，
解得，
答：佛像的高度约为 m．
 

【详解】根据，列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
20.【答案】证明：如图1，

连接OP，延长BO与圆交于点C，则，
与相切于点P，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：如图2所示，

连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作于点D，
则有：，
由可知，
，
，即，解得，，
，
在中，，
为圆的直径，
，
，
故PC长为．
 

【详解】连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
作出相关辅助线，构造相似三角形与，利用相似三角形的性质求得，，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解．
21.【答案】解：设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
个．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进个，获利y元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随a的增大而增大．
时，y最大元．
款玩偶为：个．
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
第一次的利润率，
第一次的利润率，
，
对于小李来说第二次的进货方案更合算．
 

【详解】设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进个，由用1100元购进了A，B两款玩偶建立方程求出其解即可；
设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进个，获利y元，根据题意可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系，然后根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以求得A款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润元；
分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的详解式是关键．
22.【答案】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；

由得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，
即点B的坐标为，
从图象看，不等式  的解集为或；

当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点，即时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上， 或 ．
 

【详解】用待定系数法即可求解；
求出点B的坐标为，再观察函数图象即可求解；
分类求解确定MN的位置，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中，分类求解确定MN的位置是解题的关键．
23.【答案】
 

【详解】解：如图1，由作图得，，，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
故答案为：．
射线OP是的平分线，理由如下：
如图2，，，，
≌，
，
，，
≌，
，
，，，
≌，
，即，
是的平分线．
如图3，，连接OP，作，则，
由得，OP平分，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
由，得，解得，
，
，
；
如图4，，连接OP，作，则，
同理可得，，，，，
，
，
，
．
综上所述，OC的长为2或．
由作图得，，，，可知≌的依据HL；
由作图得，，，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明≌、≌、≌，从而得到，所以OP是的平分线；
连接OP，由已知条件可证明，从而得，再过点P作OA的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出OC的长．
此题重点考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形、二次根式的化简等知识与方法，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键，解第题需作辅助线构造含特殊角的直角三角形，且需要分类讨论，求出所有符合条件的值．