2023威海高三上学期期末考试数学试题含答案

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1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1B．1C．－9D．9
3．已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
4．随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展．据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
D．近十年，农村居民国内游客人数的75%分位数为1535
5．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则D．若，则A与B相互独立
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．若为偶函数，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，有且仅有一点P满足
C．当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等
D．当时，直线AP与所成角的大小为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若展开式中的系数为160，则实数m＝______．
14．在平面直角坐标系中，过A（－2，4），B（2，6），C（－1，－3），D（2，－4）四点的圆的方程为______．
15．已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______．
16．若不等式对任意成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，，求△ABC的面积．
18．（12分）
第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置．进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当．为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：
（1）完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；
（2）据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，．
参考数据：
19．（12分）
已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
20．（12分）
在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE．
（1）求证：；
（2）若，二面角D－CE－B的正弦值为，求三棱锥C－PBE的体积．
21．（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点．
（1）求证：BM⊥BN；
（2）设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点．
22．（12分）
已知函数有两个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设，是的两个零点，求证：．男
女
总计
了解
80
不了解
160
总计
200
400
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828