2023届高考数学二轮复习专题11极坐标与参数方程学案含解析

这是一份2023届高考数学二轮复习专题11极坐标与参数方程学案含解析，共58页。学案主要包含了核心先导，考点再现，考点解密，分层训练等内容，欢迎下载使用。
 专题11 极坐标与参数方程
一、核心先导


二、考点再现

【考点1】极坐标方程的概念
(1)、极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)、极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.
特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
常见圆与直线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆


圆心为,半径为的圆


圆心为,半径为的圆


过极点,倾斜角为的直线

(1)
(2)
过点,与极轴垂直的直线


过点,与极轴平行的直线



【考点2】极坐标与直角坐标的互化
(1)、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)、互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式


在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
【考点3】直角的参数方程
直线参数方程中的几何意义的应用：
表示直线上任意一点到定点的距离.
直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则：
(1)
若为的中点，则
【考点4】曲线的参数方程
1．圆的参数方程
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。
2．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
【名师提醒】：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
3．双曲线的参数方程（了解）
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
4．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
三、考点解密

题型一:函数平移问题与极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化
例1．（江西省2022-2023学年高三上学期11月阶段联考检测数学试题（理））在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：.
(1)写出曲线的参数方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P为曲线上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的直角坐标.
【答案】(1)（为参数），
(2)最小值，此时点P的坐标为

【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解，
（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解
【详解】（1）由题意，曲线的参数方程为（为参数），经过伸缩变换，
曲线的参数方程为（为参数），
由得：，
化为直角坐标方程为
（2）设，
点P到直线l的距离为，
当时，即，得时，
点P到直线l的距离d取到最小值，
此时，点P的坐标为.
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
(2)在曲线上求一点，使点到直线的距离最小并求出最小值．
【答案】(1)（为参数）；；
(2)最小值，．
【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解，
（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解
（1）
由题意，曲线的参数方程为，经过伸缩变换后，曲线的参数方程为，
由得：，
化为直角坐标方程为，
所以，曲线的参数方程为，直线的直角坐标方程为．
（2）
设，
点到直线的距离为，
（其中，，），
当时，即，时，点到直线的距离取到最小值，
此时，，，
，，
所以，点的坐标为．
题型二:直线的参数方程的应用
例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；
(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，并注意y的取值范围，再利用求曲线的极坐标方程；（2）先求直线l的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.
【详解】（1）由得，代入整理得，即，
∵，则，，
故曲线的普通方程为，
又∵，则，
整理得
曲线的极坐标方程为
（2）由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），
代入，整理得，
∴，，
则，
即，
∴成等差数列
【变式训练2-1】、（2022·河南·一模（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．
(1)求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？
(2)设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）消去参数即可得到直线与曲线的普通方程即可说明曲线.
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到与，根据参数的几何意义讨论求得的值.
【详解】（1）由题意可得：直线l的参数方程为消去参数
得：.
曲线的参数方程为.消去参数
得：
曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆.
（2）由（1）知：将直线的参数方程代入
得：  
可知，，故与异号. 不妨设 ,
易知，故=
=
同理，
易知，故=
=
综上：
题型三:圆或椭圆的参数方程的应用
例3．（2022·青海·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）结合消元即可得出曲线C的普通方程；由即可得出直线l的直角坐标方程；
（2）设点，结合点线距离公式，讨论最大值即可
【详解】（1）由（为参数），得，故曲线C的普通方程为.
由，得，故直线l的直角坐标方程为.
（2）设点，
则点P到直线l的距离.
故当时，点P到直线l的距离取得最大值.
此时，点P的坐标为.
【变式训练3-1】、（2022·四川·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．
(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
(2)若N为曲线C上的动点，求的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．
【答案】(1)点M的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为；
(2)的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P的极坐标为.
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；（2）先设，进而表达出的中点P的坐标，用点到直线距离和三角函数的有界性求出最小值及点P的极坐标.
（1）
由，所以点M的直角坐标为，
化简得：，即，
（2）
设，则，
所以的中点P到直线l的距离
，
当，即，时，，
此时，所以，
由，，可知P点的极坐标为
所以的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P极坐标为.
题型四:极坐标方程的应用
例4．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
【答案】(1)（），（为参数）
(2)
【分析】（1）以直角坐标方程为桥梁分别求得极坐标方程和参数方程.
（2）将极坐标方程联立即可得到与可得.
【详解】（1）由已知消去参数得， ，
将，，代入上式化简整理得：
故直线l的极坐标方程为（）
由得：
所以，故
曲线C的参数方程为 （为参数）
（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：
解得： ，不妨设 ，
所以
【变式训练4-1】、（2022·四川资阳·一模（理））下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．

(1)若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；
(2)若，为上的两点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；
（2）设， ，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.
【详解】（1）将代入方程，
得， ，则的极坐标为.
又与极轴的交点为的极坐标为.
则.
（2）不妨设，，
则，
所以，的面积



所以，当，即时，.
所以，面积最大值为.






四、分层训练

A组 基础巩固
1．（2007·全国·高考真题（理））设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线．
(1)写出曲线的方程；
(2)证明：曲线C与关于点对称；
(3)如果曲线C与有且仅有一个公共点，证明：且．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据图象平移有变为，变为代入曲线C即得的方程；
（2）在曲线上任取，应用中点公式求对称点之间横纵坐标的数量关系，代入曲线即可判断对称性，同理证上点的对称点在上.
（3）将问题化为有且仅有一个根，结合二次函数的性质即可证结论.
【详解】（1）由题设，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度，
所以变为，变为，代入得：，
所以.
（2）在曲线上任取，若是关于的对称点，
所以，，可得，，
代入曲线得：，
整理得：，故在上，
同理，可证上任意一点关于的对称点在曲线上，
所以曲线C与关于点对称.
（3）由曲线C与有且仅有一个公共点，
所以有且仅有一组解，
消去，整理得：有且仅有一个根，
若，则，两图象重合，不合题意；
所以，可得，故且.
2．（2022·四川·阆中中学高三阶段练习（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，点满足点的轨迹为曲线.
(1)求的参数方程；
(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
【答案】(1)(为参数).
(2)
【分析】（1）设，可知，代入的参数方程即可求得的参数方程；
（2）先求出和的极坐标方程，再根据极径的几何含义即可求得.
（1）
设，由可知，
有，即.
故的参数方程为(为参数).
（2）
曲线的普通方程为：，
由极坐标与直角坐标的互化公式得曲线的极坐标方程为：，
同理，曲线的极坐标方程为：，
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为，
所以.
3．（2021·陕西汉中·高二期末（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，点P为曲线上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若点M，N分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）首先得到曲线的极坐标方程，然后根据的位置关系可得答案；
（2）设，然后可得，，，即可得答案.
(1)
曲线的方程为，
根据可得曲线的极坐标方程为，
设，则，
所以曲线的极坐标方程为；
(2)
设，则，，
因为，所以，
所以.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线，相交于、两点，曲线经过伸缩变换后得到曲线.
(1)求曲线的普通方程和线段的长度；
(2)设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出的普通方程，求出的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出的长度，
（2）由伸缩变换可求出曲线的方程为，设点，求出点到直线的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出的面积的最小值
(1)
由，得，又，，所以．
由（为参数），消去参数得，
的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为
，
所以.
(2)
曲线经过伸缩变换后得到曲线，则，即曲线的方程为，设点，则点到直线的距离为
（其中，），
故当时，取得最小值，且，
因此，当点到直线的距离最小时，的面积也最小，
所以的面积的最小值为．
5．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)，．
(2)8
【分析】（1）根据完全平方公式以及基本不等式，结合整体换元，利用极坐标等量公式，可得答案；
（2）利用直线的直角坐标系方程，求得点的坐标，根据直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理，可得答案.
【详解】（1）由曲线C的参数方程为，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
故曲线的直角坐标方程：，
由，且直线l的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程：.
（2）由直线方程为，则，
直线的参数方程为（为参数），代入曲线：，
可得，
所以，由直线参数方程的意义可知，
所以．
6．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））在直角坐标系中，直线的参数方程为（ 为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于，两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）根据极坐标和直角坐标之间的转化即可求解，
（2）根据直线的参数方程以及参数的几何意义即可求解弦长.
（1）
由​，得​，
​，即​
（2）
的焦点为，直线经过焦点，
将直线​的参数方程代入曲线​的方程得​，
设​，​是方程的根，
则​，​，
又​，​，
​，又​，​，​或​
7．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（理））已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点，倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和曲线的标准方程；
(2)设直线与曲线相交于,两点，求的值.
【答案】(1)（为参数），；
(2).

【分析】(1)由直线的参数方程的标准形式和同角的平方关系，即可得到所求方程；
(2)将直线的参数方程代入椭圆的标准方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理及参数的几何意义，即可得到的值.
（1）
解：因为直线经过定点，倾斜角为，
所以直线的参数方（为参数），
即（为参数）；
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以 ，
又因为，
所以曲线的标准方程为；
（2）
解：把直线的参数方程代入，
可得：，
又，所以方程有两个不同的实根，
设，是方程的两个实根，则，
所以.
8．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值．
【答案】(1)，（t为参数）；
(2)

【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.
【详解】（1）因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），
即，（t为参数）；
由可得，
即，将代入，
可得曲线的直角坐标方程为；
（2）设A,B两点对应的参数为 ，将直线l的参数方程代入，
即中，得：，
整理得，此时，
故.
9．（2022·广西桂林·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．
(1)求l的普通方程和C的参数方程；
(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．
【答案】(1)；(α为参数)．
(2)点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．

【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化为参数方程；
（2）利用参数方程求出点M到直线l距离的最大值，进而得到点M的坐标.
(1)
因为直线l的参数方程为 (t为参数)，两式相加消去t可得：；
因为，所以ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0可化为：，化为参数方程为：(α为参数).
(2)
可设，则点M到直线l的距离为：

所以，当且仅当，即时取得，此时，所以.
所以点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．
10．（2022·江西萍乡·三模（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若点为曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）消去参数t得直线普通方程，将代入曲线可得直角坐标方程；
（2）设点，利用点到直线距离公式求解可得.
(1)
将代入，消去t得直线的普通方程为；
由得，，
将代入可得，即曲线的直角坐标方程为；
(2)
设点，
则点到直线的距离，
当，即时，，
所以点到直线的距离最小值为.

B组 能力提升
11．（2022·内蒙古·满洲里市教育研修中心三模（文））在直角坐标系中，圆C的方程为：，如图，为圆上任意一点.

(1)以直线的倾斜角为参数，写出圆C的参数方程；
(2)设点的坐标为，求的最大值.
【答案】(1)，其中为参数，
(2)+1

【分析】（1）根据点P（x，y），可写成极坐标，然后代入圆的方程，即可得到，进而可解.
（2）根据圆的参数方程，x+y=，根据三角函数即可求出最大值
(1)
P为圆C上任意一点，假设P（x，y），OP长度为，则由题可得
，
P还在圆上，则，
有；
则，即，其中为参数，
(2)
x+y=+1
当时，即时，x+y取到最大值+1
12．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））如图，某“京剧脸谱”的轮廓曲线由曲线和围成．在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数，且)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)已知曲线与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，求曲线上任意一点到直线的距离的最大值．
【答案】(1)；；
(2)．

【分析】(1)消去参数t即可的普通方程；将代入极坐标方程，即可求出其直角坐标方程；
(2)利用椭圆的参数方程设上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数最值即可求解．
（1）
的参数方程为为参数，且，转换为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为；
（2）
根据题意得A(3，0)，B(0，3)，
则直线AB的方程为，即x+y-3=0，
设上任意一点为D(3cosθ，4sinθ)()，
则D到直线AB的距离d=，其中tanφ=(0