2023届高考数学二轮复习专题08求数列的前n项和学案含解析

这是一份2023届高考数学二轮复习专题08求数列的前n项和学案含解析，共51页。学案主要包含了核心先导，考点再现，考点解密，分层训练等内容，欢迎下载使用。
 专题08 求数列的前n项和
一、核心先导


二、考点再现

【考点1】公式法
1.等差数列前n项和
2.等比数列前n项和 公比含字母时一定要讨论
3.其他常用求和公式
①；
②
③；
④
【考点2】裂项相消求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） [一般]
（2）
（3）
（4）
（5）
【考点3】错位相减求和
数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
三、考点解密

题型一:公式法
例1、（2022·新疆·三模（文））设为数列的前n项和，若，则________．
【答案】5
【分析】根据递推式求得 ，再利用并项求和的方法,即可求得答案.
【详解】由可知， ，
且，
故，
故答案为：5
【变式训练1-1】、（2021·贵州毕节·模拟预测（理））等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前9项和（    ）
A． B．387 C． D．297
【答案】B
【分析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差数列的中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列和等差数列的求和公式，即可求出数列的前9项和.
【详解】解：设等比数列的公比为，
，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，
，且，
，，
，即，解得：或（舍去），
，所以数列的前9项和：



.
故选：B.
例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））已知正项数列满足，.
(1)计算,，猜想的通项公式并加以证明；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1),,,证明见解析;
(2).

【分析】（1）分别,，即可求得,,由此可猜想，用数学归纳法证明即可；
（2）结合（1）的结论可得的表达式，分组求和即可求得答案.
【详解】（1）当时，；
当时，；
猜想.
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立；
那么时，,
即时，，
则对任意的，都有成立.
（2）由题意得，
.
【变式训练2-1】、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，用表示，求解即可；
（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.
【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，
又因为等差数列的公差为2，
所以，
解得，
所以；
（2）由题意，
由于，故为以为首项，公比为4的等比数列，
所以
.

题型二:裂项相消求和
例3、（福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知正项等比数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知，设出数列公比，根据条件列出方程组，通过解方程即可求解出和，然后利用等比数列通项公式即可求解；
（2）由第（1）问求解出的通项公式，带入到中化简并进行裂项，然后求解其前n项和.
(1)
由已知可得，设等比数列的公比为，因为，，
所以或（舍去），可得，
，解得，
所以，
故的通项公式为
(2)
由第（1）问可知，，
所以,，
所以，
所以，
数列的前n项和为.
【变式训练3-1】、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
(2)
证明：，
因此，
.
故原不等式得证.
【变式训练3-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知是公差为1的等差数列，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比中项的性质结合等差性质得出通项公式；
（2）由裂项相消求和法求解即可.
【详解】（1）由题意得，故，
所以的通项公式为．
（2）




题型三:错位相减求和
例4、（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，利用等比数列的定义即可得出结论；
（2）利用分组求和法和错位相减法计算即可得出答案.
(1)
证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列；
(2)
解：由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，则，
故.
【变式训练4-1】、（2022·山西晋中·高二期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；若选②：构造利用等比数列的定义求解；
（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.
(1)
解:若选①：，
当时，，
当时，满足上式，
故
若选②：
易得
于是数列是以为首项，2为公比的等比数列，

(2)
若选①：由（1）得，
从而，
，
作差得，

于是
若选②由（1）得，
从而，
，
作差得，

于是
【变式训练4-2】、（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列的前项和满足．
(1)求，并证明数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，证明见解析；
(2).
【分析】（1）由与的关系可得，从而可得，
可知是一个以2为首项，公比为2的等比数列；
（2）利用错位相减法即可求得的前项和.
【详解】（1）当时，，
，
当时，①，
②，
由②①得，
，
，
∴是一个以2为首项，公比为2的等比数列．
（2），,
①
②　
由①②，得
，
.
题型四:其他综合情况
例5、（1）、“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M表示)
【答案】
【解析】由“斐波那契”数列可知
。
所以 ，[来源:学科网ZXXK]
所以
（2）、数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）
【答案】3993
【解析】第个1为数列第项，
当时；当时；
所以前2019项有45个1和个2，
因此
【变式训练5-1】、（2017·上海中学模拟预测）如图，在杨辉三角中，斜线上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则等于_______．

【答案】283
【分析】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第项可以表示成正整数的前项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式，即可得到的值．
【详解】解：，，，…，，
而，，，…，，
前19项的和

．
故答案为：283．
【点睛】本题以杨辉三角为例，求锯齿形数列的前项和，着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点，属于基础题．
【变式训练5-2】、（2020·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即，，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为（    ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】首先得出数列是以6为周期的周期数列，结合的定义即可得结果.
【详解】新数列为周期数列：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
，，

，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.





四、分层训练

A组 基础巩固
1．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为，则，
当时，
，显然满足上式，即有，
所以．
故选：A
2．（2022·广东广州·一模）若数列满足，则的前2022项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可.
【详解】当为奇数时，，当为偶数时，，

.
故选：D
3．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知，则有，做差求，再检验，求出的通项公式，代入求，裂项法求和计算结果.
【详解】，
当时，
，
当时，，，，所以
.
故
，
故选：D.
4．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（    ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用并项求和法计算可得；
【详解】解：因为当为奇数时，为偶数时，
所以，
所以，
所以；
故选：D
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知数列满足，，且，则（    ）
A．6065 B．6064 C．4044 D．4043
【答案】B
【分析】先由得到，再利用裂项抵消法进行求解.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，，
，，
累加，得，
即，即，n=1成立
则.
故选：B.
6．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T20的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，再用裂项相消法求出T20.
【详解】对于，
当n=1时，；
当时，；
经检验，对n=1也成立，所以.
所以，
所以.
故选：C
7．（2022·云南·二模（文））设等差数列的前n项和为．若，，则数列的前项和是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为，进而得，，故，再根据裂项求和求解即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，
因为，，则，解得
所以，所以，
所以数列的前项和为：

故选：B
8．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当为偶数时，采用并项求和法，结合等差数列求和公式可求得，代入即可得到.
【详解】当为偶数时，
，
.
故选：A.
9．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知首项为的数列，对任意的，都有，则（    ）
A．0 B．-1011 C．1011 D．2022
【答案】D
【分析】利用递推关系得到数列中项之间的规律，发现该数列时隔项相等的数列，故只需要得到前2项的即可.
【详解】∵①，∴②，又∵，∴，由得，即，
又∵，且，∴，∴，
∴.
故选：D.
10．（2022·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（   ）
A．171 B．278 C．351 D．395
【答案】C
【分析】通过得出数列隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案.
【详解】由，，
是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为2的等差数列，
是首项为3，公差为2的等差数列，
.
故选：C.
11．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前100项和______．
【答案】
【分析】叠加法求解，再裂项相消法求和即可.
【详解】∵，∴时，．
∴（），
当时也满足上式，∴（）
∴，（）
∴数列的前项和
（）
所以数列的前100项和．
故答案为：．
12．（2022·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
【答案】
【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，，解得.
故答案为：.
13．（2022·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，其前项和为，且，记，则数列的前项和______．
【答案】
【分析】利用等差数列前项和的基本量运算可得，然后利用裂项相消法即得.
【详解】设等差数列的公差为，则由，，
得，
解得，
所以，
所以，
所以数列的前项和.
故答案为：.
14．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出．
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以；
（2）解：由（1）可知，则，
所以．
15．（2022·辽宁·鞍山一中二模）在各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列．等差数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;
（2）用裂项相消法进行求解即可
【详解】（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，
因为，，成等差数列，所以 即，
因为，，所以，解得或（舍去），
所以，，
由可得，解得，
所以；
（2）因为，所以，
所以
16．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列满足：，且对任意，都有．
(1)若，，，成等比数列，求的值；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，，，成等比数列，可得，再由，可求出，则可求出，从而可求出，
（2）由已知结合等差数列的性质可得，，从而得，然后利用裂项相消法可求得结果.
（1）
因为，，成等比数列，
所以，
因为，，
所以，，．
（2）
因为，，
所以，，
所以，
所以

．
17．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知数列的前项和为，为等差数列的前项和，且满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由 计算可得结果.
（2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果.
【详解】（1）①当时，；
②当时，，
③将n=1代入中得： 符合.
∴，
设等差数列的公差为d，
则，解得：，
∴.
（2）由（1）知：，
∵
∴  ①
    ②
∴得：
即：，
∴.
18．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.
（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．
【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为
所以，解得
所以
正项等比数列中，，，设公比为
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以

两式相减得：




B组 能力提升
19．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{}中，，前和为，则为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用数列通项公式求和，然后可得答案.
【详解】解：由题意得：



故选：C
20．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））数列满足，则数列的前n项和为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.
【详解】依题意得：，
，


，
故选：D．
21．（2022·天津实验中学模拟预测）等比数列中，，，则数列的前2022项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知，，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】解：设等比数列的公比为，因为等比数列中，，，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以数列的前2022项和为
故选：C
22．（2021·全国·模拟预测）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】采用裂项相消法求数列的和
【详解】因为，
所以



故选C.
23．（2019·江西师大附中三模（文））数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据规律可总结出第行的和为，利用分组求和的方法可求得前行和，经验证，从而可得结论.
【详解】第一行为，其和为，可以变形为：；
第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；
第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；
依此类推：第行的和：；
则前行共：个数
前行和为：

满足
而第六行的第个数为：，则
满足的最小正整数的值为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查数列规律应用的问题，涉及到分组求和法、等比数列求和公式的应用，关键是能够通过已知求得每行的所有数字的和，从而得到规律.
24．（2022·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））记数列的前项和为，则__________．
【答案】.
【分析】由式子可知，的最小正周期，验证对，都有的值一个定值，求出，又由即可求解.
【详解】设，可知的最小正周期，
令（，），则
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则.
对于，都有,
所以
即
则
又，所以；
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用数列周期性求和的问题，解题的关键在于求出数列的周期，进行简化求和的运算；本题观察数列通项公式中猜想数列的周期，并验证周期的数值，涉及到三函函数的运算，综合性一般，需要较强的逻辑推理.
25．（2021·贵州六盘水·一模（理））“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列，，，…，，的和，可设计一个正立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个，第2行为2个，第3行为3个，…，第行为个1；再选一个数列（其前项和已知），可设计一个倒立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为个，第2行为个，第3行为个，…，第行为1个1.这两个三角数阵就组成一个行列的菱形数阵.若已知，则运用垛积术，求得数列，，，…，，的和为____________.

【答案】
【分析】利用前n行的规律可以得出所有数的和为，然后进行求和即可.
【详解】在两个正三角形形成的菱形区域中，第1行为个，第2行为个，第3行为个…，第行为个1，则所有数的和为，所以.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：新文化题目一般比较长，非常难以读懂，从字面上读懂题意，一般结合数列进行求解，本题中注意首项末项和项数，结合题目所给公式进行求解，否则容易出错.



C组 真题实战练
26．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴⇒⇒an＝n.
∴＝＝，
S100＝＋＋…＋
＝1－＝.
27．（2007·福建·高考真题（理））数列的前项和为，若，则等于
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】化简，利用裂项相消法可得结果.
【详解】因为，
所以，故选B．
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
28．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
29．（2015·江苏·高考真题）数列满足，且（），则数列的前10项和为_______．
【答案】
【详解】试题分析：：∵数列满足，且（），
∴当n≥2时，．
当n=1时，上式也成立，∴．∴．
∴数列的前n项的和
∴数列的前10项的和为
考点：数列求通项公式求和
30．（2007·江西·高考真题（理））数列的前项和为，则___________.
【答案】##
【分析】利用裂项相消法求和，再根据极限的定义计算可得.
【详解】解：


，
．
故答案为：
31．（2020·全国·高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
32．（2015·全国·高考真题（理））为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
33．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
34．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设，    ⑧
则．     ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.