专题18空间几何体的表面积与体积小题专练 高三数学二轮专题复习

这是一份专题18空间几何体的表面积与体积小题专练 高三数学二轮专题复习，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题18空间几何体的表面积与体积小题专练一、单选题1.  紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据单位：，那么该壶的最大盛水量为(    )A.  B.  C.  D. 2.  棱长为的正方体中，为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，则较小部分的体积是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知斜三棱柱的体积为，是上的一点，的体积为，则三棱锥的体积为(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  已知圆锥的母线长与底面半径长之比为，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上，另外的四个顶点在圆锥的侧面上如图，则圆锥与正方体的表面积之比为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，，分别为，上靠近，的三等分点，则三棱锥的体积为(    )A.  B.  C.  D. 6.  拟柱体所有点均在两个平行平面内的多面体可以用辛普森公式求体积，其中是高，是上底面面积，是下底面面积，是中截面到上、下底面距离相等的截面面积如图所示，在五面体中，底面是边长为的正方形，，且直线到底面的距离为，则该五面体的体积为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知三棱柱中，所有棱长均为，且，则该三棱柱的侧面积等于(    )A.  B.  C.  D. 9.  在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为(    )A.  B.  C.  D. 10.  在下图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的．(    )A.  B.  C.  D. 11.  “迪拜世博会”于年月日至年月日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为
的球面上．此模型的体积为(    )
A.  B.  C.  D. 12.  如图，已知正四面体的棱长为，过点作截面分别交侧棱，于，两点，且四面体的体积为四面体体积的，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题13.  折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的(    )A. 高为
B. 体积为
C. 表面积为
D. 上底面积、下底面积和侧面积之比为14.  如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则(    )
 A.  B.  C.  D. 15.  如图，已知四棱锥中，底面，，，分别是，的中点，且，记三棱锥，，的体积分别为，，，则(    )A.  B.
C.  D. 三、填空题16.  用一个不平行于底面的平面截一个圆柱，得到如图几何体，若截面椭圆的长轴长为，离心率为，这个几何体最短的母线长为，则此几何体的体积为          ．   
   世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高，我们也称为“万能求积公式”例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为          ．     18.  已知正方体的棱长为，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点，，，，如图，则四棱锥的体积为______．19.  埃及金字塔中有三大金字塔：胡夫金字塔、阶梯金字塔、弯曲金字塔，金字塔因为建筑精细、宏伟还有它的神秘被誉为是世界七大奇迹之一．现代世界各地有许多建筑模仿金字塔造型而建，如图是某处一建筑物，仿阶梯金字塔结构建造，该建筑的顶部为一个正四棱锥结构，若顶部的正四棱锥的底面边长为，高为，现要将顶部侧面安装彩色玻璃，则需要安装的玻璃的面积为          
  20.  如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以为顶点，以圆为底面的圆锥若圆半径为，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为          ，此时，去掉盖子的几何体的表面积为          ．
 
答案和解析 1.【答案】 【解答】解：由题可知圆台的上、下底面半径分别为，，圆台的高， 
根据圆台体积公式得
  

，
故该壶的最大盛水量为，  2.【答案】 解：因为为棱的中点，
则根据正方体的结构特征知，平面截正方体所得截面为等腰梯形，
设与交于点，则根据平面的基本性质知，在上，
所以较小部分是一个棱台，上、下底面积分别为、，高是正方体的棱长，故体积为，
故选C．  3.【答案】 解：设三棱柱的底面积为，高为，
则，，
再设点到底面的距离为，则，得，
，
则点到上底面的距离为，
三棱锥的体积为．
故选C．  4.【答案】 解：作出几何体的轴截面如图，

由题意设圆锥的底面半径为，则母线长，则圆锥的高，
设正方体的棱长为，由轴截面，
得，即，
解得，
所以圆锥与正方体的表面积之比为，
故选D．  5.【答案】 解：根据题意画出图形，如图所示．

，分别是，上靠近，的三等分点，且四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
点到平面的距离等于点到平面的距离，即为的底边上的高，
由等体积公式得．  6.【答案】 解：因为拟柱体的所有顶点均在两个平行平面内，所以可将正方形视为下底面，线段视为上底面，如图所示：

由已知，该拟柱体的中截面为矩形，
其中，，
其面积，
而，，
因为直线到底面的距离为，所以高，
于是由公式，
得．
故选D．  7.【答案】 解：设内接圆柱的底面半径为，高为，全面积为，则有
， ， 
，
当时，取最大值．
故本题选B．  8.【答案】 解：三棱柱中，所有棱长均为，且，
在平面内的射影是的角平分线，
作平面，延长交于点，
是边长为的等边三角形，，
，，
平面，又平面，
，又，
，
四边形是矩形，面积为，
平行四边形中，，，
平行四边形的面积为，
同理，平行四边形的面积为，
该三棱柱的侧面积等于，
故选：．  9.【答案】 解：如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
梯形的面积公式，则
由题意得：，在中，，
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，，
该方亭的体积棱台的体积公式

故选B．  10.【答案】 解：：：：，：：：，则：：，
，：：设点，到平面的距离分别为，，
：：，则：．
故当置于水平面时，该容器即为几何体，它最多可盛原来水的．
故本题选：．  11.【答案】 解：由题意可知，实心模型由两个圆柱构成，
实心模型的体积内层圆柱的体积外层几何体的体积，
因为内层圆柱的底面直径，所以，
所以内层圆柱的底面积为，
外层底面直径为，所以，
所以外层圆柱的底面面积为，
又内外层的底面圆周都在一个直径为的球上，即，
如图，以内层圆柱为例，

因为内层圆柱的底面圆周在球面上，
所以球心与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，即，
所以，
根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，
所以内层圆柱的体积为，
同理可得，外层圆柱的高为，
所以外层圆柱的体积为，
由题意可得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为的内层圆柱体的体积，
故，
所以该几何体的体积为
故本题选C．  12.【答案】 解：正四面体的棱长为，则，
由得．
又由于，，
得．
在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故选D．  13.【答案】 解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则，，
解得，，
圆台的母线长，圆台的高为，则A正确
圆台的体积，则B错误
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，
则圆台的表面积为，则C正确
上底面积、下底面积和侧面积之比为，则D错误．
故选AC．  14.【答案】 解：设，则，连结交于
，连结、，则，，，故，
，，．  15.【答案】 解：因为是的中点，所以，不妨设点到面的距离为，
则，
即，故A正确，B错误；
因为是的中点，所以，故，
所以，故C正确；
由等底等高易得，所以，，
所以，
即，，
，故D选项正确．
故选：．  16.【答案】 解：过最短母线的端点向最长母线作垂线，设最长母线的顶端为，连结，如图所示：

则，由椭圆离心率为，得，则，即，
所以；
所以把两个形状相同的几何体拼接成一个底面直径为，高为的圆柱，
计算该几何体的体积为
故答案为：．  17.【答案】 解：
如图，设上下截面小圆圆心分别为，，上底面截面小圆上一点，连接，
球的表面积为，球的半径，，
又，，截面小圆半径，
根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：
．
故答案为．  18.【答案】 解：正方体的棱长为，除面外，
该正方体其余各面的中心分别为点，，，，如图，
，四棱锥是正四棱锥，
正四棱锥的底正方形的边长为，高为，
四棱锥的体积为：
．
故答案为：．  19.【答案】 解：如图所示，该四棱锥为，底面中心为  ，为的中点，

由正四棱锥结构有，即，所以，解得，即是边长为的等边三角形，所以，所以正四棱锥侧面积之和．  20.【答案】  解：设圆的半径为，，，
则，得，
圆锥的体积为，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即当时，即时，最大，
圆台的母线长为，
圆台的侧面积为，
下底面的面积为，被挖的圆锥的侧面积为
故去掉盖子的几何体的表面积为．
故答案为：；．