2021届高考数学二轮复习专题小题专练14

小题专练14

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)设集合A={x|1≤x<2},B={x|x2-2x-3≤0},则A∪B=(    ).

A.{x|2<x≤3} B.{x|-1≤x≤2}  C.{x|1≤x≤3} D.{x|-1≤x≤3}

2.(考点:充分、必要条件,★)已知a,b∈R,i是虚数单位,则“a=0”是“复数a+bi为纯虚数”的(    ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(考点:直线和圆的综合,★)圆x2+y2-6x-8y=0的圆心到直线x+y=1的距离为(    ).

A. B. C.2 D.3

4.(考点:函数的基本性质,★★)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,则(    ).

A.f(5)<f(-3)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)

C.f(-4)<f(2)<f(3)

D.f(3)<f(-2)<f(-4)

5.(考点:三角函数的图象,★★)若函数f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度后可得到函数g(x)=cos x的图象,则φ的值可以是(    ).

A. B. C. D.

6.(考点:均值不等式,★★)若函数f(x)=(x>0)在x=a处取得最大值,则实数a的值(    ).

A.1 B.2 C.3 D.4

7.(考点:古典概型,★★)在1,2,3,4,5,6,7,8中随机抽取3个数,其中1个数为另外2个数的和的概率为(    ).

A. B. C. D.

8.(考点:传统文化,★★)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛≈1.62立方尺,1丈=10尺,π≈3)该问题中谷堆的高约为(    ).

A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:数列的综合运用,★★)设数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1(n∈N*),则下列说法正确的是(    ).

A.数列{an}是等差数列

B.数列{an}的通项公式an=

C.数列是等比数列

D.数列的前2020项和为

10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)=f(-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-x+1,则下列结论正确的是(    ).

A.函数f(x)的周期为4

B.函数f(x)在[0,4)上单调递增

C.f(2020)=1

D.函数f(x)的图象在(-4,4)上共有3条对称轴

11.(考点:点、线、面的位置关系,★★★)在三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,PB=2AC=12,过△PAC的重心G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则下列说法正确的是(    ).

A.所得截面的对边互相平行

B.若记所截得的截面为平面α,则PA⊥平面α

C.AC⊥PB

D.所得截面的面积为16

12.(考点:椭圆,★★★)已知椭圆C1的中心在原点O,焦点F1,F2在y轴上,离心率等于,且它的一个顶点恰好是抛物线C2:x2=40y的焦点F,若点P(x,y)是椭圆C1上的任意一点,且△PF1F2的面积为18,Q是抛物线C2上一点,且Q到抛物线焦点的距离为14,则下列结论正确的是(    ).

A.椭圆C1的标准方程为+=1

B.|PF1|+|PF2|=20

C.cos∠F1PF2=

D.S△QFO=200

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a-b)·(a+2b)=        . 

14.(考点:二项式定理,★★)的展开式中含x2的项为第5项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为        . 

15.(考点:新定义题型,★★★)对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“类正弦方差”.则集合相对a0的“类正弦方差”为        . 

16.(考点:函数与导数的综合,★★★)若ln x≤x2+ax(a∈R)对任意正实数x恒成立,则实数a的取值范围为        . 

答案解析：

1.(考点:集合,★)设集合A={x|1≤x<2},B={x|x2-2x-3≤0},则A∪B=(    ).

A.{x|2<x≤3} B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|1≤x≤3} D.{x|-1≤x≤3}

【解析】因为A={x|1≤x<2},B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},所以A∪B={x|-1≤x≤3}.故选D.

【答案】D

2.(考点:充分、必要条件,★)已知a,b∈R,i是虚数单位,则“a=0”是“复数a+bi为纯虚数”的(    ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】a=0⇒复数a+bi为纯虚数或实数,复数a+bi为纯虚数⇒a=0且b≠0.故选B.

【答案】B

3.(考点:直线和圆的综合,★)圆x2+y2-6x-8y=0的圆心到直线x+y=1的距离为(    ).

A. B. C.2 D.3

【解析】圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),则圆心到直线x+y=1的距离是==3.故选D.

【答案】D

4.(考点:函数的基本性质,★★)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,则(    ).

A.f(5)<f(-3)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)

C.f(-4)<f(2)<f(3)

D.f(3)<f(-2)<f(-4)

【解析】因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,所以0<a<1,f(1)>f(2)>f(3)>f(4)>f(5).又函数f(x)=loga|x|为偶函数,所以f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),f(4)=f(-4),所以f(5)<f(-3)<f(1).故选A.

【答案】A

5.(考点:三角函数的图象,★★)若函数f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度后可得到函数g(x)=cos x的图象,则φ的值可以是(    ).

A. B. C. D.

【解析】因为g(x)=cos x=sin,f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度后可得y=sin的图象,所以φ+=+2kπ,k∈Z,故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=.

【答案】B

6.(考点:均值不等式,★★)若函数f(x)=(x>0)在x=a处取得最大值,则实数a的值(    ).

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】因为f(x)==,又x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,即当f(x)取得最大值时,x=2,即a=2.故选B.

【答案】B

7.(考点:古典概型,★★)在1,2,3,4,5,6,7,8中随机抽取3个数,其中1个数为另外2个数的和的概率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】从8个数中随机抽取3个,共有=56种情况,其中1个数为另外2个数的和的情况有1,2,3;1,3,4;1,4,5;1,5,6;1,6,7;1,7,8;2,3,5;2,4,6;2,5,7;2,6,8;3,4,7;3,5,8,共12种.所以所求的概率P==.

【答案】B

8.(考点:传统文化,★★)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛≈1.62立方尺,1丈=10尺,π≈3)该问题中谷堆的高约为(    ).

A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺

【解析】设谷堆的高为h尺,底面半径为r尺,则2πr=54,得r≈9.谷堆的体积为250×1.62=×π×92×h,得h≈5.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:数列的综合运用,★★)设数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1(n∈N*),则下列说法正确的是(    ).

A.数列{an}是等差数列

B.数列{an}的通项公式an=

C.数列是等比数列

D.数列的前2020项和为

【解析】由题意得an+1-an=n+1,可知数列{an}不是等差数列,由a2=a1+2,a3=a2+3,…,an=an-1+n(n≥2),

以上各式相加得an=a1+2+3+…+n.

又∵a1=1,∴an=1+2+3+…+n=(n≥2).∵当n=1时也满足上式,∴an=(n∈N*).故==2,∴数列不是等比数列,数列的前2020项和S2020=2=.

综上,BD正确.

【答案】BD

10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)=f(-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-x+1,则下列结论正确的是(    ).

A.函数f(x)的周期为4

B.函数f(x)在[0,4)上单调递增

C.f(2020)=1

D.函数f(x)的图象在(-4,4)上共有3条对称轴

【解析】定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,故A正确;又f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x+1,结合函数f(x)的周期可知,函数f(x)在[0,2]上单调递增,在[2,4]上单调递减,故B错误;f(2020)=f(4×505)=f(0)=1,故C正确;结合图象可知,函数f(x)的图象在(-4,4)上共有3条对称轴,故D正确.综上,ACD正确.

【答案】ACD

11.(考点:点、线、面的位置关系,★★★)在三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,PB=2AC=12,过△PAC的重心G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则下列说法正确的是(    ).

A.所得截面的对边互相平行

B.若记所截得的截面为平面α,则PA⊥平面α

C.AC⊥PB

D.所得截面的面积为16

【解析】

如图,过点G作EF∥AC,分别交PA,PC于点E,F,过点E作EN∥PB交AB于点N,过点F作FM∥PB交BC于点M,连接MN,则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面),且EF=MN=AC=4,FM=EN=PB=4,因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC,又AB⊥AC,AB∩PA=A,所以AC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以AC⊥PB,所以EF⊥EN,故四边形EFMN是矩形,所以截面的面积为4×4=16.综上,ACD正确.

【答案】ACD

12.(考点:椭圆,★★★)已知椭圆C1的中心在原点O,焦点F1,F2在y轴上,离心率等于,且它的一个顶点恰好是抛物线C2:x2=40y的焦点F,若点P(x,y)是椭圆C1上的任意一点,且△PF1F2的面积为18,Q是抛物线C2上一点,且Q到抛物线焦点的距离为14,则下列结论正确的是(    ).

A.椭圆C1的标准方程为+=1

B.|PF1|+|PF2|=20

C.cos∠F1PF2=

D.S△QFO=200

【解析】因为椭圆C1的离心率等于,且它的一个顶点恰好是抛物线x2=40y的焦点,所以a=10,又e==,a2=b2+c2,解得b=6,c=8,所以椭圆C1的标准方程为+=1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20,两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=202,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2=162,两式相减得2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=144,又=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=18,所以1+cos∠F1PF2=2sin∠F1PF2,解得cos∠F1PF2=.设Q(x1,y1),因为点Q到抛物线焦点的距离为14,所以y1+10=14,解得y1=4,代入抛物线的方程可得|x1|=4,所以S△QFO=20.综上,BC正确.

【答案】BC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a-b)·(a+2b)=        . 

【解析】(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=1+1××cos-2×2=-2.

【答案】-2

14.(考点:二项式定理,★★)的展开式中含x2的项为第5项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为        . 

【解析】的展开式的通项公式Tr+1=xn-r=(-1)r,因为含x2的项为第5项,所以r=4,令n-r=2,解得n=8.在(1-3x)n中,令x=1,得a0+a1+…+a8=(1-3)8=28,又a0=1,所以a1+a2+…+a8=28-1=255.

【答案】255

15.(考点:新定义题型,★★★)对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“类正弦方差”.则集合相对a0的“类正弦方差”为        . 

【解析】由“类正弦方差”的定义知,

ω=

=

=

=

=

=.

【答案】

16.(考点:函数与导数的综合,★★★)若ln x≤x2+ax(a∈R)对任意正实数x恒成立,则实数a的取值范围为        . 

【解析】由条件可得ln x-x2≤ax(x>0)恒成立,则当x>0时,a≥-x恒成立.

令h(x)=-x(x>0),则h'(x)=,令k(x)=1-x2-ln x(x>0),则当x>0时,k'(x)=-2x-<0,所以k(x)在(0,+∞)上为减函数.又k(1)=0,所以在(0,1)上,h'(x)>0,在(1,+∞)上,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,所以h(x)max=h(1)=-1,所以a≥-1.

【答案】[-1,+∞)