新高考数学一轮复习考点练习考点04 基本不等式 (含解析)

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考点04 基本不等式考向一　基本不等式1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab (a，b∈R). (2)+≥2a，b同号). (3)ab≤2(a，b∈R).(4)2≤(a，b∈R).3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值，是2 (简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是 (简记:和定积最大). 1. 若实数a，b满足，则的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为，则，当且仅当且时取等号，即时取等号，此时取得最小值3．故选：B．2. 【2020甘肃省静宁县第一中学高三其他（理）】 若圆关于直线对称，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知圆心在直线上，则.又因为，所以，当且仅当时，即时取等号，此时，故选C3. 【2020河北易县中学高三其他】已知，是函数的两个极值点，则的最小值为（    ）A． B．9 C．5 D．【答案】A【解析】由题可知．因，为函数的两个极值点，所以，，故，，又，则且所以，当且仅当，即，时取得最小值．此时，符合条件．故选A考向二　基本不等式应用1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。1. 【2020浙江省单元测试】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；②当时，，则不恒成立；③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选C.2.【2020湖南省雅礼中学月考】函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意可得函数的图象恒过定点，又点在直线上，∴，∴=，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为．故选B. 题组一（真题在线）1. 【2020年高考江苏】已知，则的最小值是       ．2. 【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为          ．3. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，则A．  B．C．  D．4. 【2019天津高考理科】设，则的最小值为______.5. 【2017山东高考】若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 (　　)A. a+<<log2(a +b)                B. <log2(a +b)<a+C. a+<log2 (a +b)<                D. log2(a +b)<a+<6. 【2018天津卷】已知a，b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　   　　　. 7. 【2019年新高考全国Ⅰ卷】已知为正数，且满足，证明：（1）（2）题组二1. 【2020河北省正定中学高三质量检测数学】圆关于直线对称，则的最小值是A． B．3 C． D．2.【2020浙江省高一单元测试】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．3. 【2020山东省高三其他】在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ）A． B． C． D．34. 【2020浙江省单元测试】已知函数，则该函数的（    ）．A．最小值为3 B．最大值为3C．没有最小值 D．最大值为5.【2020河北易县中学高三其他（理）】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.6.【2020河北省衡水中学高三三模（理）】已知函数，不等式的解集为．（1）解不等式；（2）若，，，求证：．题组一1. 【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为.2. 4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为43.ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选ABD.4. 【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为。5.B 【解析】利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.6.【解析】由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+≥2==,当且仅当a=-3,b=1时取等号.7.【解析】（1），.由基本不等式可得：，于是得到.（2）由基本不等式得到：，，.于是得到 题组二1.B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，得，因为，所以，故选B．2.C 【解析】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；②当时，，则不恒成立；③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选C.3.B 【解析】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，则，，则在△中，，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以，所以该三棱柱的侧面积为.故选B.4.CD 【解析】，函数，当且仅当时取等号，该函数有最大值．无最小值．故选CD．5. （1）；（2）【解析】（1）当时，恒成立，∴，当时，，解得，当时，不成立，无解，综上，原不等式的解集为．（2）由（1），∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是．6.【解析】（1）由，得，的解集为，则，，得．不等式可化为，则或或，解得或或，所以原不等式的解集为或．（2）因为，，所以，即．所以，当且仅当，即，时取等号．所以不等式得证.