中考数学复习冲刺A＋题组训练三含答案

这是一份中考数学复习冲刺A＋题组训练三含答案，共3页。

(时间：30分钟 满分：15分)
1．★(3分)在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接AC，BD，则AC＋BD的最小值为 ( B )
A．2eq \r(5) B．2eq \r(10) C．6eq \r(2) D．3eq \r(5)

第1题图 第2题图
2．★(2分)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F，G分别在AB，AD，BC上，DE与FG相交于点O，连接CE，当∠EOG＝45°，FG＝2eq \r(10) 时，CE的长为3eq \r(5).
3．(10分)如图，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA＋45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
解：(1)y＝－eq \f(1,2)(x＋1)(x－4)＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2.
(2)根据抛物线解析式可求C(0，2)，即OC＝2，
∴eq \f(OC,OA)＝eq \f(OB,OC)＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC＋∠CAO＝∠CBA＋45°＋∠CAO＝∠ACO＋∠CAO＋45°＝135°，
∴∠BAP＝180°－∠QAB＝45°，
设P(m，n)，且过点P作PD⊥x轴于点D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m＋1＝－n①，
又∵点P在抛物线上，∴n＝－eq \f(1,2)(m2－3m－4)②，
联立①②两式，解得m＝6(负值舍去)，此时n＝－7，
∴点P的坐标是(6，－7)．
(3)设PH与x轴的交点为Q1，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(1,2)a2＋\f(3,2)a＋2))，则
Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(1,2)a＋2))，PH＝－eq \f(1,2)a2＋2a，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，
∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，
即a＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a2＋\f(3,2)a＋2))，
解得a＝3(负值舍去)，此时PH＝eq \f(3,2)，
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，如图②，
∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，
∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(5),2)，
∴在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝eq \f(1,2)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
∴直线AF的解析式为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(3,4)，
将上式和抛物线解析式联立，解得x＝eq \f(5,2)(负值舍去)，此时 PH＝eq \f(15,8)，
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E，如图②，
∵∠CAF＋∠CFA＝90°，∠PAQ1＋∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝eq \r(5)，∴E(eq \r(5)，2)，
∴直线AE的解析式为y＝eq \f(\r(5)－1,2)x＋eq \f(\r(5)－1,2)，
联立上式和抛物线解析式，解得x＝5－eq \r(5)(负值舍去)．此时PH＝3eq \r(5)－5.
∴当FP＝FH时，PH＝eq \f(3,2)；当PF＝PH时，PH＝eq \f(15,8)；当HF＝HP时，PH＝3eq \r(5)－5.