2022年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷（一）

这是一份2022年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷（一），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是　　
A．0 B． C． D．
2．（3分）为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是　　
A． B． C． D．
3．（3分）用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是　　

A． B． C． D．
4．（3分）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（3分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等：当夏至时，白昼时长最长．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是　　

A．立春 B．芒种 C．白露 D．小寒
6．（3分）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是　　
A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高
C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线
7．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点处测得旗杆顶部的仰角为，并测得到旗杆的距离为米，若为米，则红旗的高度为　　

A．米 B．米 C． D．米
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，函数的图象经过菱形的顶点和对角线的交点，若菱形的面积为6，则的值为　　

A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）正方形与正方形如图所示，，．现将正方形绕点旋转一周．在旋转过程中，当最小时，点到边的距离为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：　　．
12．（4分）已知是一个正整数，当　　时，的值为整数．（填写一个你认为正确的答案即可）
13．（4分）冬奥会冰上项目有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个．其中短道速滑、速度滑冰、花样滑冰为滑冰大项里的3个分项．小华去冰上项目当志愿者，则他被随机分派到滑冰大项里当志愿者的概率为 　　．
14．（4分）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为8，则弦的长为 　　．

15．（4分）七巧板是中国古代劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏．小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图“，已知正方形的边长，则图2中的值为 　　．

16．（4分）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，是水平桌面，测得壶身，，，且．壶嘴，．
，，；，，
（1）与水平桌面的夹角为 　　．
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点转动壶身，当恰好倒出茶水时，，此时点下落的高度为 　　．（结果保留一位小数）．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，随机抽取名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
阅读量本
学生人数
1
15
2

3

4
5
（1）直接写出、、的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？

20．（8分）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中画一个以，，，为顶点的平行四边形（非矩形）；
（2）在图2中过点作，使点在格点上；
（3）在图3中作，使点在格点上，且不在直线上．
21．（8分）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

22．（10分）南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点可能在线段上（如图，也可能在线段的延长线上（如图，点在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，请用含的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为9平方米，求的长；
（2）的长为多少米时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？

23．（10分）新定义：如果函数的图象与直线相交于点，和点，，那么我们把和中较大的数值叫做函数在直线上的“截距”．
（1）求双曲线与直线上的“截距”；
（2）若抛物线与直线相交于点，和点，，若“截距”为，且，求的值；
（3）设，为正整数，且，抛物线在轴上的“截距”为，抛物线在轴上的“截距”为．如果对一切实数恒成立，求，的值．
24．（12分）如图1，在平行四边形中，，是的中点，，，的延长线交于点，在线段上取点，（点在，之间），使得．当点从匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．连结．设，，已知．

（1）求，的长．
（2）当时（如图，求的周长．
（3）若，①当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
②将绕点顺时针旋转得线段，若点落在四边形的内部，请直接写出的取值范围．


2022年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是　　
A．0 B． C． D．
【分析】根据有理数、无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：．0是有理数，因此选项不符合题意；
．是无理数，因此选项符合题意；
．是有理数，因此选项不符合题意；
．是有理数，因此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查无理数，算术平方根，理解无理数的定义是正确解答的前提．
2．（3分）为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将186000000用科学记数法表示为：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．（3分）用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是　　

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一行三个圆．
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4．（3分）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式得，，
在数轴上表示为：

故选：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
5．（3分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等：当夏至时，白昼时长最长．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是　　

A．立春 B．芒种 C．白露 D．小寒
【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项．
【解答】解：由图象可知：
．立春白昼时长约为10.2小时，不符合题意；
．忙种白昼时长约为14.9小时，符合题意；
．白露白昼时长为13小时，不符合题意；
．小寒白昼时长为5小时，不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够读懂函数的图象并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
6．（3分）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是　　
A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高
C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，逐个选项进行分析即可得出结果．
【解答】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
只有选项符合条件，
故选：．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是正确解答本题的关键，比较简单．
7．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】由三角形的内角和等于，即可求得的度数，又由邻补角定义，求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．
【解答】解：在中，，
（已知），
（三角形的内角和定理），
（平角定义），
（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
故选：．

【点评】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
8．（3分）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点处测得旗杆顶部的仰角为，并测得到旗杆的距离为米，若为米，则红旗的高度为　　

A．米 B．米 C． D．米
【分析】根据题意得出米，，米，易得四边形为矩形，则米，米，在中根据正切的定义得到，然后利用进行计算即可得出答案．
【解答】解：如图，米，，米，
四边形为矩形，
米，米，
在中，
，
，
米．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，函数的图象经过菱形的顶点和对角线的交点，若菱形的面积为6，则的值为　　

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得的值，本题得以解决．
【解答】解：设点的坐标为，点的坐标为，
则，点的坐标为，，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）正方形与正方形如图所示，，．现将正方形绕点旋转一周．在旋转过程中，当最小时，点到边的距离为　　

A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质可得点在以为圆心，为半径的圆上，当与圆相切时，有最小值，此时、、三点共线，过点作交延长线于点，由，求出即为所求距离．
【解答】解：点在以为圆心，为半径的圆上，
当与圆相切时，有最小值，
，
、、三点共线，
过点作交延长线于点，
，，
，
，
，
，
点到的距离是，
故选：．

【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握正方的性质，根据旋转的性质，确定与圆的关系是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：　　．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（4分）已知是一个正整数，当　7　时，的值为整数．（填写一个你认为正确的答案即可）
【分析】利用算术平方根的定义解题．
【解答】解：当时，是整数．（答案不唯一）
故答案为：7．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
13．（4分）冬奥会冰上项目有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个．其中短道速滑、速度滑冰、花样滑冰为滑冰大项里的3个分项．小华去冰上项目当志愿者，则他被随机分派到滑冰大项里当志愿者的概率为 　　．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个中短道速滑、速度滑冰、花样滑冰为滑冰大项里的3个分项，
小华去冰上项目当志愿者，则他被随机分派到滑冰大项里当志愿者的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为8，则弦的长为 　4　．

【分析】作直径，连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出．
【解答】解：作直径，连接，如图，

为直径，
，
，，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
15．（4分）七巧板是中国古代劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏．小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图“，已知正方形的边长，则图2中的值为 　　．

【分析】根据拼图可知，图2中的等于三角形②，三角形⑥，三角形⑦以及平行四边形④的高度和即可．
【解答】解：如图，由拼图可知，，
，
在中，，，
所以，
所以
，
故答案为：．

【点评】本题考查七巧板，理解七巧板中各个部分面积、边长、高之间的关系是正确解答的关键．
16．（4分）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，是水平桌面，测得壶身，，，且．壶嘴，．
，，；，，
（1）与水平桌面的夹角为 　　．
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点转动壶身，当恰好倒出茶水时，，此时点下落的高度为 　　．（结果保留一位小数）．

【分析】（1）延长交于点，分别过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得四边形是平行四边形，从而可得，进而可求出的长度，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）利用图②，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得四边形是矩形，从而可得，，进而可得，然后在中求出，再在中，求出，即可求出，利用图③，过点作，垂足为，在中，求出，最后利用减去进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长交于点，分别过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
与水平桌面的夹角为；
故答案为：；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
过点作，垂足为，

，
，
在中，，
，
，
点下落的高度约为．
故答案为：40.3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
【分析】先计算绝对值、化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式

．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算顺序和运算法则及绝对值性质、熟记特殊锐角三角函数值、零指数幂的规定．
18．（6分）解方程组：．
【分析】①②得出，求出，再把代入②求出即可．
【解答】解：，
①②，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．（6分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，随机抽取名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
阅读量本
学生人数
1
15
2

3

4
5
（1）直接写出、、的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？

【分析】（1）根据题意和统计图中的数据可以求得、、的值；
（2）根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本．
【解答】解：（1）由题意可得，
，，，
即的值是50，的值是10，的值是20；
（2）（本，
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中画一个以，，，为顶点的平行四边形（非矩形）；
（2）在图2中过点作，使点在格点上；
（3）在图3中作，使点在格点上，且不在直线上．
【分析】（1）根据网格，以为对角线在图1中即可画一个以，，，为顶点的平行四边形为格点）；
（2）根据网格画格对角线即可在图2中作直线为格点）；
（3）根据网格作的垂直平分线交格对角线于点，即可在图3中作为格点，且不在直线上）．
【解答】解：（1）如图1，四边形即为所求作的平行四边形；
（2）如图2，直线即为所求；

（3）如图3，．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
（2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接，

，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，且，
设，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点可能在线段上（如图，也可能在线段的延长线上（如图，点在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，请用含的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为9平方米，求的长；
（2）的长为多少米时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？

【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
【解答】解：（1）①设的长为米，
点在线段上，
米，
，
，即，
；
②设的长为米，根据题意得：
，
解得：，（此时点不在线段上，舍去），
，
答：饲养场的长为3米；
（2）设饲养场的面积为，的长为米，
①点在线段上，由（1）知此时，
则，
，抛物线对称轴是直线，
在对称轴右侧，随的增大而减小，
时，有最大值，（平方米）；
②点在线段的延长线上，此时，
则，
，，
时，有最大值，，
时，（平方米）；
，
饲养场的宽为米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米．
答：饲养场的宽为米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
23．（10分）新定义：如果函数的图象与直线相交于点，和点，，那么我们把和中较大的数值叫做函数在直线上的“截距”．
（1）求双曲线与直线上的“截距”；
（2）若抛物线与直线相交于点，和点，，若“截距”为，且，求的值；
（3）设，为正整数，且，抛物线在轴上的“截距”为，抛物线在轴上的“截距”为．如果对一切实数恒成立，求，的值．
【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解；
（2）由直线与轴成角，可得，由一元二次方程可得，可求的值；
（3）分别求出，，解不等式可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得
解得： 或
，，
双曲线与直线上的“截距” ，
（2）直线与轴成角，



△

解得：，，
，



（3）令，则，
，，

由，
，，
，
对一切实数恒成立，
，
，
①
当，且△时，①式对于一切实数恒成立，

且，为正整数，
或
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“截距”新概念，理解这概念是本题的关键．
24．（12分）如图1，在平行四边形中，，是的中点，，，的延长线交于点，在线段上取点，（点在，之间），使得．当点从匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．连结．设，，已知．

（1）求，的长．
（2）当时（如图，求的周长．
（3）若，①当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
②将绕点顺时针旋转得线段，若点落在四边形的内部，请直接写出的取值范围．

【分析】（1）当时，，即可得，当时，，可得，再由，求出，即可得出答案；
（2）当时，，可得，由，即可证明，根据相似性质可证得结论；
（3）①连接，过点作于点，过点作于点，运用勾股定理可求出，，根据是以为腰的等腰三角形，分类讨论即可；
②当落在边上时，过点作于点，交于点，利用证明△，再建立方程求出，当落在边上时，过点作于点，利用证明△，再建立方程求出，即可得出答案．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
；
（2）当时，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，，
，
的周长；
（3）①如图1，过点作于点，过点作于点，
由（1）知，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
是以为腰的等腰三角形，
或，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：（舍去），，
综上所述，或；
②如图2，当落在边上时，过点作于点，交于点，
由①得：，，，
，
，
，
，
，
△，
，
，
，即，
解得：，
如图3，当落在边上时，过点作于点，
，
，
，
，，
，
△，
，
，
，
，
，
解得：，
．



【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，解直角三角形，旋转变换的性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题关键是运用方程思想和分类讨论思想解决问题．