2022年山东省青岛市胶州六中中考数学三模试卷

这是一份2022年山东省青岛市胶州六中中考数学三模试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省青岛市胶州六中中考数学三模试卷
一、选择题：本大题共8小题
1．（3分）的绝对值是　　
A．5 B． C． D．
2．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）如图所示的正六棱柱的主视图是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里．38.4万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为　　
A． B． C． D．
6．（3分）下列运算中，正确的是　　
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作圆，交于点，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，在中，，点是边的中点，过作于点，点是边上的一个动点，与相交于点．当的值最小时，与之间的数量关系是　　

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题.
9．（3分）计算：　　．
10．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有 　　个．
11．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的成绩的中位数是　　环．

12．（3分）如图，是的直径，切于，交于，连．若，则　 　度．

13．（3分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，然后把再对折到，使点落在上的点处，若，则的长度为 　　．

14．（3分）如图，是由22个棱长为1厘米的小正方体拼成的立体图形，该图中由两个小正方体组成的长方体的个数为　　．

三、作图题（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
15．如图1，已知直线，直线分别与，交于点，．在线段上求作一点，使点到，的距离相等．
如图2，在图中求作，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等．

四、解答题：本大题共9小题.
16．（1）解不等式组：
（2）计算：
17．在一次数学兴趣小组活动中，小明和小亮两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12，则小亮获胜（若指针停在等分线上，再转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）求出小亮获胜的概率．

18．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．
（1）真空管上端到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，

19．（6分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近，质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：如下：
整理数据：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量
频数
频率

2
0.1

3
0.15

10


5
0.25
合计
20
1
分析上述数据，得到下表：
统计量
厂家
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
75
76

6.3
乙厂
75

77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）　　，　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：在的鸡腿加工成优等品、请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？

20．为了促进学生加强体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，去年学校在某体育用品店购买品牌足球共花费3600元，品牌足球共花费2700元，且购买品牌足球数量是品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，品牌比品牌便宜10元．
（1）去年，品牌足球的销售单价各是多少元？
（2）今年由于参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买，两种足球共38个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，品牌去年提高了，品牌比去年降低了，如果今年购买，两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个品牌足球？
21．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成解答要求．
已知：如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，　　．（填写序号）
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论．

22．某电子科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元件，在销售过程中发现：每年的年销售量（万件）与销售价格（元件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．
（1）请求出（万件）与（元件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润（万元）与（元件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格（元定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润（万元）与销售价格（元件）的函数示意图，求销售价格（元件）的取值范围．

23．（10分）问题的提出：个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
问题的转化：由上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：
条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；
平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；

①请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
②根据递推规律用的代数式填空：条直线最多可以把平面分割成　 　个部分．
问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；
空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分；
空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分；
空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；
空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；
③请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
④根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成　 　个部分；
⑤设个平面最多可以把空间分割成个部分，设个平面最多可以把空间分割成个部分，前面的递推规律可以用和的代数式表示；这个等式是　 　．
24．已知：线段和矩形如图①摆放（点与点重合），点在边上，，．如图②．从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向运动，速度为．点为的中点，连接，，，与相交于点，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）设五边形的面积为，求与的关系式；
（3）当时，求线段的长；
（4）当为何值时，五边形的周长最小，最小是多少？直接写出答案即可）



2022年山东省青岛市胶州六中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题
1．（3分）的绝对值是　　
A．5 B． C． D．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：的绝对值是．
故选：．
【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
2．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：．是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）如图所示的正六棱柱的主视图是　　
A． B．
C． D．
【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正六棱柱的特点作答．
【解答】解：正六棱柱的主视图如图所示：
．
故选：．

【点评】本题考查了简单几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意，看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线表示．
4．（3分）月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里．38.4万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：38.4万，
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．
【解答】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向左平移4个单位，向下平移4个单位得到线段，
点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
6．（3分）下列运算中，正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：、，故选项错误；
、，故选项错误；
、，故选项错误；
、，故选项正确；
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
7．（3分）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作圆，交于点，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，，利用解直角三角形求出，进而求出，，由得出是等边三角形，得出，由圆周角定理得出，由勾股定理求出，利用阴影部分的面积，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接，，

在中，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是直径，
，
，
阴影部分的面积


，
故选：．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，掌握解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积计算公式，三角形面积的计算公式等知识是解决问题的关键．
8．（3分）如图，在中，，点是边的中点，过作于点，点是边上的一个动点，与相交于点．当的值最小时，与之间的数量关系是　　

A． B． C． D．
【分析】如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时最小．作交于，交于，利用平行线的性质，证明，利用全等三角形证明，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时最小．作交于，交于．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．
二、填空题：本大题共6小题.
9．（3分）计算：　　．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的减法，掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有 　17　个．
【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
假设有个红球，
，
解得：，
经检验是分式方程的解，
口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
11．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的成绩的中位数是　9　环．

【分析】根据条形统计图得出该队员10次射击成绩，再利用中位数的定义解答即可．
【解答】解：由题意，可得该队员10次射击成绩（单位：环）为：6，7，8，8，9，9，9，9，10，10，第5与第6个数据都是9，
所以中位数是：．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是条形统计图和中位数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．（3分）如图，是的直径，切于，交于，连．若，则　30　度．

【分析】根据切线的性质知道，利用已知条件可以求出，然后由圆周角定理知即可求出．
【解答】解：切于，
，
，
．
故填空答案：．
【点评】本题主要利用了切线的性质和圆周角定理等知识解决问题．
13．（3分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，然后把再对折到，使点落在上的点处，若，则的长度为 　　．

【分析】由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求，即可求解．
【解答】解：如图，连接，
对折矩形的纸片，使与重合，
，，
，
把再对折到，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，．
故答案为：．

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，证明是等边三角形是本题的关键．
14．（3分）如图，是由22个棱长为1厘米的小正方体拼成的立体图形，该图中由两个小正方体组成的长方体的个数为　40　．

【分析】由两个小正方体组成的长方体，可以分为上下位，左右位，前后位三种，分别数出它们的个数，再相加即可求解．
【解答】解：（个．
答：该图中由两个小正方体组成的长方体的个数为40．
故答案为：40．
【点评】考查了认识立体图形，规律型：图形的变化类，关键是分类讨论，做到不重复不遗漏．
三、作图题（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
15．如图1，已知直线，直线分别与，交于点，．在线段上求作一点，使点到，的距离相等．
如图2，在图中求作，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等．

【分析】如图1中，作线段的垂直平分线垂足为，点即为所求．如图2中，作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求．
【解答】解：如图1中，点即为所求；
如图2中，点即为所求．

【点评】本题考查作图复杂作图，平行线之间的距离，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题：本大题共9小题.
16．（1）解不等式组：
（2）计算：
【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）先计算括号内的式子，再计算括号外的除法即可．
【解答】解：（1），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
故原不等式组的解集是；
（2）




．
【点评】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
17．在一次数学兴趣小组活动中，小明和小亮两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12，则小亮获胜（若指针停在等分线上，再转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）求出小亮获胜的概率．

【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和大于12的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：

6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可见，两数和共有12种等可能结果；

（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
小亮获胜的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
18．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．
（1）真空管上端到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，

【分析】（1）过作于．构建中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据的长可求出的长，再判定出四边形是矩形，可求出，根据计算即可；
【解答】解：（1）过作于．
在中，
，
（米．
真空管上端到的距离约为1.2米．

（2）在中，
，
（米，
，，又，
四边形是矩形．
，，
米，
（米，
在中，
，
，
米，
（米
安装热水器的铁架水平横管的长度约为0.2米．

【点评】本题以常见的太阳能为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．
19．（6分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近，质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：如下：
整理数据：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量
频数
频率

2
0.1

3
0.15

10


5
0.25
合计
20
1
分析上述数据，得到下表：
统计量
厂家
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
75
76

6.3
乙厂
75

77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）　0.5　，　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：在的鸡腿加工成优等品、请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？

【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出的值，根据众数的意义可求出的值；
（2）求出乙厂鸡腿质量在的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）根据方差进行判断即可；
（4）求出甲厂鸡腿质量在的鸡腿数量所占的百分比即可．
【解答】解：（1），
乙厂鸡腿质量70，71，71，72，73，74，74，74，75，75，75，76，76，77，77，77，77，78，79，79，
所以其中位数．
故答案为：0.5；75；
（2）（只，补全频数分布直方图如下：

（3）两个厂的平均数相同，都是，而要求的规格是，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）（只，
答：从甲厂采购了20000只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有13000只．
【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是关键．
20．为了促进学生加强体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，去年学校在某体育用品店购买品牌足球共花费3600元，品牌足球共花费2700元，且购买品牌足球数量是品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，品牌比品牌便宜10元．
（1）去年，品牌足球的销售单价各是多少元？
（2）今年由于参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买，两种足球共38个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，品牌去年提高了，品牌比去年降低了，如果今年购买，两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个品牌足球？
【分析】（1）设去年品牌足球的销售单价是元，则品牌足球的销售单价是元，利用数量总价单价，结合购买品牌足球数量是品牌数量的1.5倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出去年品牌足球的销售单价，再将其代入中即可求出去年品牌足球的销售单价；
（2）设学校购买个品牌足球，则购买个品牌足球，利用总价单价数量，结合今年购买，两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设去年品牌足球的销售单价是元，则品牌足球的销售单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：去年品牌足球的销售单价是80元，品牌足球的销售单价是90元．
（2）设学校购买个品牌足球，则购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
的最大值为10．
答：学校最多可购买10个品牌足球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成解答要求．
已知：如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，　①　．（填写序号）
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由全等三角形的判定和性质可得结论；
（2）根据矩形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：①，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
故答案为：①；
（2）解：平行四边形是矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．某电子科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元件，在销售过程中发现：每年的年销售量（万件）与销售价格（元件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．
（1）请求出（万件）与（元件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润（万元）与（元件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格（元定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润（万元）与销售价格（元件）的函数示意图，求销售价格（元件）的取值范围．

【分析】（1）依据待定系数法，即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当时，；当时，；根据，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为万元．
（3）根据第二年的年利润，令，可得方程，解得，，然后在平面直角坐标系中，画出与的函数图象，根据图象即可得出销售价格（元件）的取值范围．
【解答】解：（1）当时，设，将代入得，
与之间的函数关系式为；
当时，设，将，代入得，
，解得，
与之间的函数关系式为，
综上所述，；

（2）当时，，
当时，随着的增大而增大，
当时，；
当时，，
当时，；
，
当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为万元．

（3）第一年的年利润为万元，
万元应作为第二年的成本，
又，
第二年的年利润，
令，则，
解得，，
在平面直角坐标系中，画出与的函数示意图可得：

观察示意图可知，当时，，
当时，第二年的年利润不低于103万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
23．（10分）问题的提出：个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
问题的转化：由上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：
条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；
平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；

①请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
②根据递推规律用的代数式填空：条直线最多可以把平面分割成　　个部分．
问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；
空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分；
空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分；
空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；
空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；
③请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
④根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成　 　个部分；
⑤设个平面最多可以把空间分割成个部分，设个平面最多可以把空间分割成个部分，前面的递推规律可以用和的代数式表示；这个等式是　 　．
【分析】①平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到个部分；
②寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论；
③空间中有6个平面时，新增的一个平面与已知的5个平面最多有5条交线，这5条交线会把新增的这个平面最多分成16部分，而从多出16个部分；
④空间中有10个平面时，新增的一个平面与已知的9个平面最多有9条交线，这9条交线会把新增的这个平面最多分成46部分，而从多出46个部分；
⑤空间中有个平面时，新增的一个平面与已知的个平面最多有条交线，这条交线会把新增的这个平面最多分成部分．
【解答】解：①根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分；

②根据规律得，条直线最多可以把平面分割成，
故答案为；

③根据规律得，空间中有6个平面时，新增的一个平面与已知的5个平面最多有5条交线，这5条交线会把新增的这个平面最多分成16部分，而从多出16个部分，即总共会得到个部分，所以，6个平面最多可以把空间分割成42个部分；

④根据规律得，空间中有10个平面时，新增的一个平面与已知的9个平面最多有9条交线，这9条交线会把新增的这个平面最多分成46部分，而从多出46个部分，即总共会得到个部分，所以，10个平面最多可以把空间分割成185个部分；
故答案为：185；

⑤根据规律得，空间中有个平面时，新增的一个平面与已知的个平面最多有条交线，这条交线会把新增的这个平面最多分成部分，

故答案为：．
【点评】此题主要考查了规律的寻找，连续个正整数的和的公式，解本题的关键是申清题意，找出变化规律，是一道中等难度的题目．
24．已知：线段和矩形如图①摆放（点与点重合），点在边上，，．如图②．从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向运动，速度为．点为的中点，连接，，，与相交于点，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）设五边形的面积为，求与的关系式；
（3）当时，求线段的长；
（4）当为何值时，五边形的周长最小，最小是多少？直接写出答案即可）


【分析】（1）证明，根据相似比求的值即可；
（2）用矩形的面积分别减去，，的面积即可；
（3）连接交于点，分别证明点是、的中点，点是的中点，在中，，求出的长即可求的长；
（4）作点关于的对称点，过点作，过点作，相交于点，当、、三点共线时，的值最小，求出的长即可求五边形的周长最小值．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，即，
解得；
（2），
，
，
，
是的中点，
，
；
（3）连接交于点，
，是的中点，
是的中点，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
；
（4），，
，，
是的中点，
，
作点关于的对称点，过点作，过点作，相交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，，
，
五边形的周长的最小值为．


【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，中位线的性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．