福建省泉州市南安市2022-2023学年九年级上学期期末教学质量监测数学试题

福建省泉州市南安市2022-2023学年九年级上学期期末教学质量监测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．当时，（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】根据即可求解．

【详解】解：当时，，

故选B．

【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握是解题的关键．

2．下列线段、、、是成比例线段的是（    ）

A．，，，

B．，，，

C．，，，

D．，，，

【答案】A

【分析】根据成比例线段的定义，逐一进行判断即可．

【详解】解：A、，，，，则：，线段、、、成比例线段，符合题意；

B、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意；

C、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意；

D、，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意；

故选A．

【点睛】本题考查成比例线段．熟练掌握成比例线段的定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，是解题的关键．

3．下列式子是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据最简二次根式的定义即可判定答案．

【详解】解：A，，因此不是最简二次根式，不合题意；

B，，因此不是最简二次根式，不合题意；

C，是最简二次根式，符合题意；

D，，因此不是最简二次根式，不合题意；

故选C．

【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，能熟记最简二次根式的定义是解题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．

4．下列成语描述的事件是不可能事件的是（    ）

A．叶落归根 B．生老病死 C．水中捞月 D．守株待兔

【答案】C

【分析】根据不可能事件的定义逐项判断即可．

【详解】解：A，叶落归根是必然事件，不合题意；

B，生老病死是必然事件，不合题意；

C，水中捞月是不可能事件，符合题意；

D，守株待兔是随机事件，不合题意；

故选C．

【点睛】本题考查事件发生的可能性，掌握不可能事件的定义是解题的关键．不可能事件：即一定不会发生的事情．

5．一元二次方程配方后正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把常数项移到方程的右边，方程两边再加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．

【详解】解：

移项，得：，

配方，得：，

即．

故选A．

【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法．配方法解一元二次方程的方法：将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方．

6．2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的队伍共有（    ）支．

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】设共有x支队伍，根据单循环比赛规则，每支队伍需比赛场，由此列一元二次方程，即可求解．

【详解】解：设共有x支队伍，由题意知：

，

解得：或（舍去），

即参加校园足球联赛的队伍共有8支．

故选B．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环比赛规则列出一元二次方程是解题的关键．

7．如图，在中，，，梯形的面积是面积的8倍，则的长为（    ）

A．1 B．1.5 C．2 D．3

【答案】C

【分析】先根据梯形的面积是面积的8倍，得出，再证，推导出，即可求解．

【详解】解：梯形的面积是面积的8倍，

．

中，，

，，

，

，

．

，

，

．

故选C．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．

8．已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得、，将整理为，最后代入计算即可解答．

【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，

∴，，

∴．

故选D．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解本题的关键．

9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限相交于点，点坐标为，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（    ）

A．3 B．2 C．1.5 D．2.5

【答案】A

【分析】根据与轴正半轴的夹角的正切值为，求出点坐标为，将代入，即可求解．

【详解】∵与轴正半轴的夹角的正切值为，

∴

∴

∴点坐标为

将代入，得

故选：A

【点睛】本题考查反比例函数的关系式，正切的含义，解题的关键是求出点的坐标．

10．如图，在四边形中，，是的中点，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】连接，交于点F，取的中点E，连接，，可得是的中位线，是的中位线，利用中位线的性质可得，，，，利用平行线的性质得出，，由已知得出，进而得出，再根据三角形外角的性质得出，从而得到，进而得出结论．

【详解】解：如图，连接，交于点F，取的中点E，连接，，

点是的中点，点是的中点，

是的中位线，是的中位线，

，，，，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

故选D．

【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是正确添加辅助线，构造三角形中位线．

二、填空题

11．计算：＝ ___________.

【答案】

【详解】解:2 -=，

故答案为: ．

12．一元二次方程的一次项系数为______．

【答案】

【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．

【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为，

故答案为：．

【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键．

13．如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点，于点，且，，则______．

【答案】5

【分析】根据反射角等于入射角可知，进而得出，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．

【详解】解：由题意知，

，

，

，

，

故答案为：5．

【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．

14．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连结、交于点，则______．

【答案】

【分析】根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，根据重心的性质可知线段的比例关系，进而得出的长度．

【详解】解：∵在中，、分别是、的中点，

∴点是的重心，

∴，

∵在中，，，，

∴，

∴是直角三角形，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重心的性质，熟记重心的性质是解题的关键．

15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、都在格点处，则的值为______．

【答案】

【分析】利用网格得到直角三角形，再根据正弦的定义即可求得的值．

【详解】解：∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，、

∴在中，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理，正弦的定义，熟记正弦的定义是解题的关键．

16．一张以为边的矩形纸片，边上一点，沿着直线对折，点落在点处，矩形恰好能沿直线和直线剪掉两个直角三角形，剩下的四边形纸片，如图所示，其中，，，则矩形纸片的边的长为______．

【答案】##1.6##

【分析】根据相似三角形的性质和判定即可求得的长．

【详解】解：如图所示

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴根据题意可得：，

∴，

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意找出线段之间的数量关系是解题的关键．

三、解答题

17．计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的混合运算法则：优先计算乘除，最后加减合并即可．

【详解】解：

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记对应法则是解题的关键．

18．解方程：

【答案】，

【分析】方程利用因式分解法求解即可．

【详解】解：

∴，

∴，

【点睛】本题主要考查解一元二次方程--因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

19．某工厂月份的产值是元，在一些不可控的因素下，月份的产值下降到元，该工厂这两个月平均每月产值降低的百分率是多少？

【答案】该工厂这两个月平均每月产值降低的百分率是．

【分析】设该工厂这两个月平均每月产值降低的百分率，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】解：设该工厂这两个月平均每月产值降低的百分率，根据题意得，

解得：（不合题意，舍去）

答：该工厂这两个月平均每月产值降低的百分率是．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

20．南安北站设计理念的核心源自南安当地古厝民居，体现了南安古厝“红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊，雕梁画栋皇宫式”的精美与韵味．如图，数学兴趣小组为测量南安北站屋顶的高度，在离底部点米的点处，用高米的测角仪测得顶端的仰角．求南安北站屋顶的高度（精确到米）．[参考数据：，，]

【答案】南安北站屋顶的高度约为米．

【分析】根据示意图得出，，在中，根据，得出，进而根据，即可求解．

【详解】解：依题意，，，

在中，，

∴，

∴（米），

答：南安北站屋顶的高度约为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．

21．已知是坐标原点，、的坐标分别为、．

(1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为；

(2)的长为______（结果保留根号）；

(3)的面积为______．

【答案】(1)见解析

(2)

(3)

【分析】(1)根据位似图形的性质即可求得新图形的坐标；

(2)根据位似图形的性质即可算出的长度；

(3)根据平面直角坐标系内三角形面积的求法即可得到的面积．

【详解】（1）解：∵是坐标原点，、的坐标分别为、，相似比为，

∴，，

∴如图所示即为所求，

（2）解：∵，相似比为，

∴．

（3）解：过点做，则可得，，

∴．

【点睛】本题考查了位似图形的性质，平面直角坐标系内三角形的面积，熟记位似的性质是解题的关键．

22．2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某市举行“学习二十大奋进新征程”知识竞答活动，共有10道必答选择题，每道选择题都有、、三个选项，有且只有一个选项是正确的．小明已答对前8题，答对最后两道题就能顺利通关．假设最后这两道题小明都不会，只能从所有选项中随机选择一个．

(1)小明答对第9题的概率是______；

(2)小明在第9题和第10道题各使用一次“求助”（每使用一次“求助”可以让主持人在选项中去掉一个错误选项）．请你用画树状图或列表的方法分析小明竞答通关的概率有多大？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求概率的公式，即可求解；

（2）假设表示第9题正确的选项，、表示第9题错误的选项；表示第10题正确的选项，、表示第10题错误的选项；列表即可求解．

【详解】（1）∵每道选择题都有、、三个选项，有且只有一个选项是正确的，

∴小明答对第9题的概率是．

（2）假设表示第9题正确的选项，、表示第9题错误的选项；

表示第10题正确的选项，、表示第10题错误的选项；

∵每使用一次“求助”可以让主持人在选项中去掉一个错误选项，

∴假设第9题，第10题去掉的错误选项都是

列表如下：

由列表可知，共有4种等可能的结果，小明顺利通过的只有1种情况，所以小明能够顺利通关的概率为．

【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是正确列出表格进行求解．

23．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且．

(1)求的取值范围；

(2)若取负整数，求的值．

【答案】(1)

(2)或0．

【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再运用根的判别式即可解答；

（2）先根据结合取负整数可得或，然后再分别将或代入方程求解，最后将代入计算即可．

【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，

∴，

解得：．

（2）解：∵且取负整数

∴或

当时，原方程可化为：且

解得：

∴；

当时，原方程可化为：且

解得：

∴；

综上，的值为或0．

【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，是明确题意、灵活利用一元二次方程的相关知识是解答本题的关键．

24．平面直角坐标系中有、、、四点，动点在轴的正方向上运动，连结．

(1)如图①，将绕着点顺时针旋转90°得到线段，当时，求的长；

(2)如图②，当时，连结，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过点作轴于点，连接，证明，得出，勾股定理即可求解；

（2）作点关于轴的对称点，则，过点作于点，当重合时取得最小值，证明，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，连接，

∵将绕着点顺时针旋转90°得到线段，

∴，，

∵，

∴，

∴

∴，

∵、、四点，动点，

∴，

∴,

∴

（2）解：如图所示，作点关于轴的对称点，则，过点作于点，

∵

∴，

∴当重合时取得最小值，

此时是直角三角形，

∴，

即，

解得：,（舍去）

∴，

如图所示，连接，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴．

∴的最小值为：．

【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．

25．如图，矩形中，于点，点是延长线上的一点，于点，分别交、于点、．

(1)若平分，求证：；

(2)若，，求的长；

(3)在（1）的条件下，若，且，，求的长．

【答案】(1)见详解

(2)12

(3)3

【分析】（1）过点H作于K，根据同角的函数值相等，再根据角平分线的性质即可；

（2）根据已知条件证出，可得，可出 ，即可得出结论；

（3）过点H作于点M，过点A作于点L，可证出，可得，再等量代换即可得出结论．

【详解】（1）证明：过点H作于K，

∵

∴ 即

∵ 矩形中 ,且平分

∴

∴

（2）解：∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴ 即

∵

∴

∴

∴

∴

∴ ,即

∴ 即

∴

（3）解：过点H作于点M，过点A作于点L，如图

∵

∴

∵

又∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

又∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴,即

则

设，则

∵，

∴，

解得

∴

由（1）知

∴

设，由勾股定理得

∴

由勾股定理得

∵在和中，

∴

∴ ，即，

解得，

∴．

【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．