2023届高考数学二轮复习讲义——第六讲基本初等函数

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1．幂函数的概念
一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
4.根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
5.分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
6.指数幂的运算性质
①；
②；
③.
7.指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
8.对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
9.对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
10.对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
【典型题型讲解】
考点一：幂函数的定义及其图像
【典例例题】
例1．幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
例2．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且
【方法技巧与总结】
1.5种特殊幂函数的图像及其性质；
2.幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．
2.已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.
3.如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点二：指数与指数幂的运算
【典例例题】
例1．化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【方法技巧与总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；
【变式训练】
1．=（ ）
A．2B．1C．3D．0
2.甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
考点三：指数函数的图像及性质
【典例例题】
例1.函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2.已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
指数函数的解析式具有单一性；
指数函数的单调性和图像与底数有关系.
【变式训练】
1.函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为
C．不等式的解集是 D．是增函数
2.函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
3.已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则______．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．
7．已知函数，则不等式的解集为___________.
8．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．
考点四：对数概念与对数运算
【典例例题】
例1.（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
【方法技巧与总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
【变式训练】
1.（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20%B．23%C．28%D．50%
3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的？（ ）
（参考数据：）
A．16B．17C．18D．19
4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据）
A．11分钟B．14分钟
C．15分钟D．20分钟
考点五：对数函数的图像及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数（，），则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·广东珠海·高三期末）设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
对数的函数的图像画法，定点问题；
对数函数的图像及性质应用.
【变式训练】
1．（2022·广东茂名·一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·广东茂名·一模）已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是___________
3．（2022·广东湛江·一模）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
4.己知实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
5.（多选题）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．，B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数D．当时，
6.（2022·广东·三模）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【巩固练习】
1．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减D．是奇函数，且在是单调递减
2．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《bdy size and metablicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（ ）
A．5.4倍B．5.5倍C．5.6倍D．5.7倍
3．已知函数，且，则（ ）
A．26B．16C．－16D．－26
4．若函数的零点为，则（ ）．
A．B．1C．D．2
5．已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
6．关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据，）（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，其中且，且，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
9．已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数，若存在三个实数，使得，则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
三、填空题
14．___________.
15．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①；②在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
16．已知函数，若，则实数a的取值范围为___________.
17．已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，．给出以下4个结论：
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数是以2为周期的周期函数；
③当时，；
④函数在上单调递减．
其中所有正确结论的序号为______．
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数