2023湖南省宁乡市高二上学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2023湖南省宁乡市高二上学期期末考试数学试卷含解析，文件包含高二数学答案docx、高二数学试卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小腿，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步）
17.（本大题满分10分）
解：(1)由已知可得，直线l的斜率k＝eq \f(3－1,6－2)＝eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为x－2y＝0. 4分
(2)因为圆C的圆心在直线l上，
所以可设圆心坐标为(2a，a)． 5分
因为圆C与x轴相切于(2,0)点，
所以圆心在直线x＝2上，所以a＝1， 7分
所以圆心坐标为(2,1)，半径为1， 8分
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 10分
18. （本大题满分12分）
解：（1）由题意，， 2分
得， 4分
解得或
当或时，直线和平行. 6分
（2）由题意，， 8分
得， 11分
解得，
当时，直线和重合. 12分
19. （本大题满分12分）
解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，. 3分
可得，.
所以，
所以 6分
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得. 9分
同理，可求平面PDC的一个法向量. 10分
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为. 12分
20. （本大题满分12分）
解：(1)因为，．
所以，解得． 2分
所以．
因为为等比数列，，且
，，成等差数列．
所以． 4分
设公比为q，则，所以，
所以，
所以，． 6分
(2)证明：由（1）得，
所以①， 8分
②， 9分
①-②得： 10分
，
所以． 12分
21. （本大题满分12分）
解：(1)由题意可得F1(0，c)，
则eq \f(c2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1，解得x＝±eq \f(b2,a)， 2分
∴△MNF2的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2b2,a)×2c＝eq \f(2b2c,a)＝eq \r(3).① 3分
∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴a＝2b.② 4分
又∵a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程x2＋eq \f(y2,4)＝1. 6分
(2)当m＝0时，则P(0,0)，
由椭圆的对称性得eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(PB,\s\up7(―→))，即eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，
∴m＝0时，存在实数λ，使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \(OB,\s\up7(―→)). 7分
当m≠0时，得eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \(OB,\s\up7(―→))，
∵A，B，P三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→)). 8分
设A(x1，y1), B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,4x2＋y2－4＝0，))
得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，
即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋4)，x1x2＝eq \f(m2－4,k2＋4).
由eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，得x1＝－3x2，
即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
∴eq \f(12k2m2,k2＋42)＋eq \f(4m2－4,k2＋4)＝0⇒m2k2＋m2－k2－4＝0,
显然m2＝1不成立，∴k2＝eq \f(4－m2,m2－1).
∵k2－m2＋4>0，∴eq \f(4－m2,m2－1)－m2＋4>0，
即eq \f(4－m2m2,m2－1)>0.
解得－2