第1讲 幂的运算-七年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

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第1讲 幂的运算
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1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
知识精讲

知识点01同底数幂的乘法
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【知识拓展1】计算：
（1）；（2）；
（3）．
【答案与解析】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．
【即学即练1】计算：
（1）； （2）（为正整数）；
（3）（为正整数）．
【答案】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【即学即练2】计算：
(1)；(2) ．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
．
【知识拓展2】已知，求的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：
【答案与解析】
解：由得．
∴ ．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．
知识点02幂的乘方
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【知识拓展1】计算：
（1）； （2）； （3）．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.

【即学即练1】计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
【知识拓展2】已知，求的值．
【答案与解析】 解：∵ ，∴ ．
【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
【即学即练1】已知，．求的值．
【答案】解：．
【即学即练2】已知，，求的值．
【答案】解：因为, .
所以.
【即学即练3】已知，请用含m、n的代数式表示.
【答案】.
【解析】.利用“”与求解！
【即学即练4】已知，求n的值；
【答案】2.
【解析】，所以，，故n＝2. 本题关键在于将左边整理成底数为3的形式，难点在于运用乘法对加法分配律的逆用！
【即学即练5】已知，则＝ ．
【答案】－5；
提示：原式　
∵∴ 原式＝＝－5
知识点03积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
【即学即练1】计算：
（1） （2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】解：（1）．
2）．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
【即学即练2】下列等式正确的个数是( )．
① ② ③
④ ⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A；
提示：只有⑤正确；；；；
【知识拓展2】计算：.
【答案】12.
【解析】原式＝.本题的关键是“积的乘方”运算的逆运用.
知识点04 同底数幂的除法
同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
【知识拓展1】计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．
【即学即练1】计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0．
【答案与解析】解：（1）．
（2）
（3）．
（4）．
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
【知识拓展2】已知，，求的值．
【答案与解析】解： ．
当，时，原式．
【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．
【即学即练1】已知，求的值．
【答案】解：由得，即，，
∵ 底数不等于0和1，
∴ ，即，．
能力拓展
1.已知(-x)a+2 × x2a × (-x)3 = x32 ， a 是正整数，求a 的值．
【难度】★★★
【答案】9．
【解析】解：左边= (-x)a+2 × (-x)2a × (-x)3 = (-x)3a+5 ，右边= x32 = (-x)32 ，所以(-x)3a+5 = (-x)32 ，\3a + 5 = 32 ，即a = 9 ．
【总结】本题对奇负偶正的灵活的运用的考查，要注意是否需要讨论．
2.已知n 为正整数，化简： (-x2 )n + (-xn )2 ．
【难度】★★★
【答案】0 或2x2n ．
【解析】解：①当 n 为奇数时，原式= -x2n + x2n = 0 ；②当 n 为偶数时，原式= x2n + x2n = 2x2n ．
【总结】本题要注意，没有告诉 n 的奇偶性，必须要讨论，属于分类讨论的题目．
3.已知： 3x+1 × 2x - 3x × 2x+1 = 216 ，试求 x 的值．
【难度】★★★
【答案】3．
【解析】解：左边= 3´ 3x ´ 2x - 2 ´ 3x ´ 2x = 6x ，右边= 216 = 63 ，左边=右边，
\6x = 63 ，∴ x = 3 ．
【总结】等式两边都化成底数相等的数，再对应指数相等．
4.已知，，求的值．
【难度】★★★
【答案】1．
【解析】，因为，所以，所以n=1，所以原式=n=1
【总结】考查同底数幂的乘除法基本公式的灵活运用．
5.如果整数满足，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】
=，所以x =1，y =2，z =1，所以=．
【总结】考查同底数幂的乘除法基本公式的灵活运用，注意计算的技巧．
6.已知，求整数．
【难度】★★★
【答案】或或．
【解析】1的任何次方都等于1，任何一个数的0次方都等于1，的偶数次幂等于1，所 以或或．
【总结】本题一方面考查对零次幂的理解，另一方面考查分类讨论思想的运用，综合性较强，注意不要漏解．
分层提分

题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022·全国·七年级）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意直接根据负整数指数幂的意义进行计算即可求出答案．
【详解】解：.
故选：D.
【点睛】本题考查负整数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂的运算法则即是解题的关键.
2．（2022·全国·七年级）计算结果正确的是（ ）.
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了同底数幂的除法，熟练掌握法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，是求解该问题的关键．
3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg，那么0.000036mg用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000036mg＝3.6×10﹣5 mg．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
二、填空题
4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am＝10，an＝6，则am+n＝_____．
【答案】60
【分析】逆用同底数幂乘法法则即可解题．
【详解】解：am+n=am·an=106=60．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
5．（2022·全国·七年级）计算的结果等于________．
【答案】
【分析】根据同底数幂相乘法则和合并同类项法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，解题关键是熟记同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加．
6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（）2012＝_____．
【答案】2
【分析】把22013化成22012•2，再逆用积的乘方即可求解．
【详解】解：22013•（）2012
=22012•2•（）2012
=2•（）2012
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：_______．
【答案】
【分析】根据积的乘方等于各个因式的乘法，再用幂的乘方法则进行计算．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方公式，掌握计算公式是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级）若，则x的取值范围是________．
【答案】
【分析】任何不为零的数的零次幂都等于零，根据定义解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了零指数幂定义，熟记定义是解题的关键．
9．（2022·全国·七年级）计算：______．
【答案】4
【分析】根据零指数幂，负指数幂的运算法则以及绝对值，求解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂以及绝对值的计算，解题的关键是掌握他们的运算法则．
三、解答题
10．（2022·全国·七年级）计算：
（1）； （2） ．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则计算即可;
(2) 先结合规律 (−a)n=an(n为偶数), (−a)n=−an(n为奇数),对底数进行变形,再利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则,掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
【答案】这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
试题分析：用每1千克镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量乘以地壳里含镭的总量即可.
试题解析：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：（1）==；
（2）==；
（3）====
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：．
【答案】1
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．

题组B 能力提升练
1．（2022·全国·七年级）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）49；（2）a7；（3）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，故底数4不变，指数相加即可求出结果；
（2）底数不变，指数相加，得出的每一项为同底数指数幂，再合并同类项得出最后结果；
（3）底数不变，指数相加，得出的每一项为同底数指数幂，再合并同类项得出最后结果．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【点睛】本题考查同底数指数幂的乘法以及合并同类项法则，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．
2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算，得到答案．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了分式的乘除法、负整数指数幂，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把（a≠0）记作an，读作“a的n次商”．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝　 ，（﹣3）4＝　 ；
（2）关于除方，下列说法错误的是　 ；
A．任何非零数的2次商都等于1；B．对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；
C．34＝43；D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：．
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
（﹣3）4＝　 ；＝　 ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次方商an写成幂的形式等于　 ．
（5）算一算：=　 ．
【答案】（1）；；（2）BC；（3）(−)2；73；（4）；（5）-
【分析】（1）利用除方的定义解答即可；
（2）利用除方的定义对每个说法逐一判断即可；
（3）利用题干中给定的解法解答即可；
（4）利用（3）中的方法解答即可；
（5）利用（4）中得出的规律计算即可．
【详解】解：：（1）23=2÷2÷2=；
（-3）4=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）
=（-3）×（-）×（-）×（-）
=；
故答案为：；；
（2）∵任何非零数的2次商等于这个数与它本身相除，结果为1，
∴任何非零数的2次商都等于1，故A正确；
∵对于任何正整数n，当n为奇数时，（-1）n=-1，当n为偶数时，（-1）n=1，
故B错误；
∵34=3÷3÷3÷3=，43=4÷4÷4=，
∴34≠43．故C错误；
∵负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故D正确；
综上，说法错误的是：BC，
故答案为：BC；
（3）（-3）4=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）
=（-3）×（-）×（-）×（-）
=(−)2，
()5=÷÷÷÷
=×7×7×7×7=73，
故答案为：(−)2；73；
（4）∵an===，
∴将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于．
故答案为：；
（5）
=1÷（-2）2×（-3）3+（-4）1×
=1××（-27）+（-1）
=-．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是阅读型题目，理解题干中的定义与法则并熟练应用是解题的关键．
4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．
（1）猜想106×104＝　 　，10m×10n＝　 　．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①（1.5×104）×（1.2×105）；
②（﹣6.4×103）×（2×106）．
【答案】（1）1010，10m+n；（2）①1.8×109；②-1.28×1010
【分析】（1）根据所给式子进行猜想即可；
（2）①由（1）的猜想进行计算即可；②由（1）的猜想进行计算即可．
【详解】解：（1）∵10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105
∴106×104＝1010，10m×10n＝10m+n
故答案为：1010，10m+n
（2）①（1.5×104）×（1.2×105）
=1.5×1.2×104×105
=1.8×109
②（﹣6.4×103）×（2×106）
=﹣6.4×2×103×106
=-12.8×109
=-1.28×1010
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确得出运算规律是解答本题的关键．
5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题．
(1)阅读和学习下面的材料:
比较355，444，533的大小．
分析:小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解法如下:
解:∵，，，
∴．


学习以上解题思路和方法，然后完成下题:
比较34040，43030，52020的大小．
(2)阅读和学习下面的材料:
已知am＝3，an＝5，求a3m+2n的值．
分析:小刚同学发现，这些已知的和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方的公式，完成题目的解答．解法如下:
解:∵＝34＝27，＝＝32＝25，
∴＝27×25＝675．


学习以上解题思路和方法，然后完成下题:
已知am＝2，an＝3，求a2m+3n的值．
(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以解答本题；
（3）根据题目中的例子可以解答本题．
【详解】解：(1)∵34040＝(34)1010＝811010，43030＝(43)1010＝641010，52020＝(52)1010＝251010，
∴34040>43030>52020．
(2)∵＝22＝4，＝33＝27，
∴＝4×27＝108．
(3) (－16)505×(－0.5)2021
＝(24)505×(0.5)2021
＝22020×(0.5)2020×0.5
＝0.5
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式进行变形，然后利用有理数的乘方法则和积的乘方法则进行计算．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方法则和积的乘方法则的逆用，对学生灵活运用知识的要求较高，有一定难度．
2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）
A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2
【答案】A
【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．
【详解】解：∵2100=S，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
=S+2S+22S+…+299S+2100S
=S（1+2+22+…+299+2100）
=S（1+21002+2100）
=S（2S1）
=2S2S．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
二、填空题
3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数满足且，则的值为_____．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a,b,c,d的值，故可求解．
【详解】∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2,b=0，c=3,d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．

【答案】
【分析】设第n个拐弯处的数为，由已知数据可以分析得到当时，n为奇数，，当n为偶数，，由此进行计算即可．
【详解】解：设第n个拐弯处的数为
由题意知：，，，，
观察可得：，，，
∴当且n为奇数时，，当n为偶数时，,
∴，即第六个拐弯处的数是．
故答案为：











∴第一百个拐弯处的数是
故答案为：
【点睛】本题考查数字的规律探索以及同底数幂相乘的计算法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关键．
三、解答题
5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣xyz）2M＝x2n+2yn+3z4÷5x2n﹣1yn+1z，自然数x，z满足＝72，且x＝z，求M的值．
【答案】
【分析】根据自然数x，z满足2x•3z﹣1＝72，且x＝z这一条件,可知2x•3x﹣1＝72，即可求出x的值,进而求出z的值,根据整式除法的运算法则,将整式进行化简,然后将x和z的值代入即可求出结果.
【详解】解：∵自然数x、z满足2x•3z﹣1＝72，且x＝z，∴x＝3，z＝3，
∴M＝（x2n+2yn+3z4÷5x2n﹣1yn+1z）÷（﹣xyz）2＝（x3y2z3）÷（﹣xyz）2
＝x3﹣2y2﹣2z3﹣2＝xz＝
【点睛】本题考查了整式的化简求值,解决本题的关键是正确理解题意,能够熟练掌握整式的运算法则,将原式进行化简.
6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因为，所以．解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：
（3）拓展运用：计算 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；
（2）先设logaM=x，logaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和的逆用，将所求式子表示为：log3（2×18÷4），计算可得结论．
【详解】（1）∵一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=logaN．
∴3=log5125，
故答案为：3=log5125；
（2）证明：设，
∴，，
∴，
由对数的定义得
又∵，
∴
（3） log3（2×18÷4）= log39=2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：
21﹣20＝______＝2(_____)
22﹣21＝_____＝2(______)
23﹣22＝______＝2(______)
…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算20+21+22+…+22019．
【答案】（1）1；0；2；1；4；2；（2）2n﹣2n-1＝2n-1，证明见解析（3）22020-1
【分析】（1）根据有理数乘方的定义即可计算；
（2）根据已知的等式发现规律写出第n个等式，再根据幂的运算法则进行验证；
（3）设S=20+21+22+…+22019，再求出2S，相减即可求解．
【详解】（1）21﹣20＝1＝2(0)
22﹣21＝2＝2(1)
23﹣22＝4＝2(2)
故答案为：1；0；2；1；4；2；
（2）第n个等式为2n﹣2n-1＝2n-1
说明：2n﹣2n-1＝2n-1（2-1）=2n-1；
（3）设S=20+21+22+…+22019，
则2S=21+22+23+…+22020，
∴S=（21+22+23+…+22020）-（20+21+22+…+22019）
=22020-1．
【点睛】此题主要幂的运算，解题的关键是熟知幂的乘法公式的运用．
8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得．
【详解】（1）第①行的第1个单项式为，
第①行的第2个单项式为，
第①行的第3个单项式为，
第①行的第4个单项式为，
归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第①行的第8个单项式为，
故答案为：；
（2）第②行的第1个单项式为，
第②行的第2个单项式为，
第②行的第3个单项式为，
第②行的第4个单项式为，
归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第②行的第9个单项式为，
第③行的第1个单项式为，
第③行的第2个单项式为，
第③行的第3个单项式为，
第③行的第4个单项式为，
归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第③行的第10个单项式为，
故答案为：，；
（3）由题意得：，
当时，，
，
，
则，
，
．
【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)
　23﹣22=　　　　=2(　　)，
　24﹣23=　　　　=2(　　)，
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
【答案】探究：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3；（1）25﹣24=2×24﹣1×24=24；（2）2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n；（3）﹣2．
【分析】探究：根据有理数的乘方运算逐个补充即可；
（1）观察探究的等式，即可写出第4个等式；
（2）根据探究的等式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先将所求式子进行变形，再根据题（2）中的规律进行求解即可得．
【详解】探究：


（1）第4个等式为；
（2）归纳类推得：第n个等式为；
（3）原式


．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，观察探究中的式子，归纳类推出一般规律是解题关键．
10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．