模拟卷11 圆锥曲线——【新高考】2023年高考数学专题模拟卷汇编（原卷版+解析版）

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模拟试卷汇编11：圆锥曲线解析版
一、 单选
1.（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷） “”是“直线与平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】充分性：当时，直线与即为：与，所以两直线平行.故充分性满足；
必要性：直线与平行，则有：，解得：或.
当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；
当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；
所以或.
故必要性不满足.
故“”是“直线与平行”的充分不必要条件.
故选：A
2. （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得.
故选：C.
3. （2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或6
【答案】B
【解析】
【详解】直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
①当时，：，：，，符合题意；
②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，
故，
故选：B
4.（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷） “”是“点在圆外”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.故选：B.
5. （2022年江苏省高三模拟试卷）已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为，
所以时，，则，
所以在点处的切线的斜率为，
即双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以曲线C的离心率为，
故选：C
6. （2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设，，则，，又，所以当时，，当时，.
故选：C.
7. （2022年江苏省苏州高三联考模拟试卷）抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F斜率为的直线与C交于点M，N（M在x轴上方），则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】由抛物线，得，
则直线的方程为，
联立，解得或，
即，
所以，，
所以.
故选：D.
8. （2022年湖南省师范大学附属中学高三模拟试卷）如图所示，已知和分别是双曲线：(，)的左、右焦点，圆与双曲线位于轴上方的图像从左到右依次交于、两点，如果，则的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：连接、，取的中点，的中点，连接、，
由已知及双曲线的定义得，，，
∵，∴中，，
又，∴，∴，

故选：A.
9. （2022年广东省高三模拟试卷）已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（ ）个
A. 8个 B. 4个或6个 C. 6个或8个 D. 4个或8个
【答案】B
【解析】
【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
因为为短轴一端点，令，长度的最大值为，
椭圆，
所以说明椭圆与圆有且仅有下顶点这唯一交点，
设 ，
所以 ，即
所以 ，
因为，
所以带入中得：
，
因为 ，
所以，
所以，
所以，
因为，
当 带入得：

所以，
所以，
所以即 ，
当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点有2个，
当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点有0个，
所以使为直角三角形的点共有4个或6个，
故选：B.
10. （2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则（ ）
A. 且与圆相交 B. 且与圆相离
C. 且与圆相离 D. 且与圆相交
【答案】C
【解析】
【详解】由可知，以为中点弦所在直线的斜率为
则直线的方程为，直线的方程可化为
由可知，
圆心到直线的距离为
因为是圆内一点，所以，即
故直线与圆相离
故选：C
11. （2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】抛物线，即，则焦点为，
准线为，设，由，
可得，
由抛物线定义可得到准线的距离为，到准线的距离为，
由梯形的中位线定理可得，
由，可得，
即，
得，当且仅当取最小值.
故选：D
二、 多选
12. （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的方程为
B. 直线与圆相交于，两点，且，则或
C. 若点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为24
D. 直线始终平分圆的面积，则的最小值是11
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A：设，因为，，且，
所以，即，
化简，得，即，
故选项A错误；
对于B：圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，且，
所以，即，解得或，
故选项B正确；
对于C：四边形的面积为，
由平面几何知识得当时，取得最小值，
此时面积取得最小值为，
故选项C正确；
对于D：因为直线始终平分圆的面积，
所以直线经过圆 的圆心，
即，又因为，，
所以

（当且仅当，即时取得“=”），
故选项D正确.
故选：BCD.
13. （2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 的准线方程为
B. 直线与相切
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的周长的最小值为11
【答案】BCD
【解析】
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；

如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
14.（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷）已知双曲线，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（ ）
A. 的最小值为
B. 以F为焦点的抛物线的标准方程为
C. 满足的直线有3条
D. 若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率
答案：BD
【解析】选项A. 当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则
又，故选项A不正确.
选项B. ,则以F为焦点的抛物线的标准方程为，故选项B正确.
选项C. 当A，B两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则，此时无满足条件的直线.
当A，B两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则，此时无满足条件的直线.
故选项C不正确.
选项D. 过右焦点F分别作两渐近线的平行线，如图，
将绕焦点沿逆时针方向旋转到与重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点.
此时直线l的斜率或,故选项D正确
故选：BD

15. （2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若过点的圆与两坐标轴都相切，且与过点和点的直线相离，设为圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆心的坐标为或
B. 面积的最大值为22
C. 当最小时，
D. 不存在点使
【答案】BCD
【解析】
【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为，由题意可得，解得或，
当时，圆心到直线：的距离为，
当时，圆心到直线：的距离为，
又圆与：相离， 所以圆心的坐标为，A错误；
因为点到直线的距离的最大值为，
所以，B正确；
当最小时，与圆相切，由对称性或勾股定理可得，C正确；
假设存在点使，则的外接圆圆的半径为，
设圆方程为，则
，解得或
又因为为圆上的动点，当圆心时，，
当圆心时，，所以圆与圆相离，点不存在，D正确，
故选：BCD
16.（2022年江苏省江苏高三联考模拟试卷） 双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双扭线C．已知点是双扭线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A. 双扭线C关于原点O中心对称；
B. ；
C. 双扭线C上满足的点P有两个；
D. 的最大值为．
【答案】ABD
【解析】
【详解】对A，设动点，由题意可得的轨迹方程为
把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；
对B，因为，故．
又，所以，
即，故．故B正确；
对C，若，则在的中垂线即y轴上．
故此时，代入，
可得，即，仅有一个，故C错误；
对D，因为，
故，
，
因为，，
故．
即，
所以．
又，当且仅当，，共线时取等号．
故，
即，解得，故D正确．
故选：ABD.
17. （2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4 B.
C. △NAB面积的最小值为6 D. 若直线AB的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】由题意知 ,设直线AB方程 , ，

联立 ，可得 ， ，
故，
则，
故当 时，的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，
当时，轴，NF在x轴上，此时 ;
当时, ， ，故，
综合可知，,故B正确；
又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，
则，
由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于同向，故，故D正确，
故选：ABD
18. （2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆C的离心率的取值范围是
B. 已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3
C. 存在点Q使得
D. 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【详解】解：根据题意可知，
则椭圆方程为，
因为点在椭圆C外，
所以，所以，
所以，
则离心率，故A正确；
对于B，当椭圆C的离心率为时，，
所以，
所以椭圆方程为，
设点，
则，
当时，，故B错误；
对于C，当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，
此时，
，
即当点Q位于椭圆的上下顶点时为钝角，
所以存在点Q使得为直角，
所以存在点Q使得，故C正确；
对于D，，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.

三、填空题
19. （2022年重庆市高三模拟试卷）写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：______．
①圆心在直线上，②与轴相切．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】因圆心在直线上，则在直线取点作圆心，又该圆与轴相切，则圆半径为2，
所以满足条件的圆的标准方程为：.
故答案为：
20. （2022年江苏省江苏高三联考模拟试卷）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，以坐标原点O为圆心，过点A的圆与双曲线C的一条渐近线交于位于第一象限的点P，若直线的斜率为，则C的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：，
圆，
联立，解得，则，
，即
所以．
故答案为：
21. （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）圆关于直线对称的圆为，若圆和圆有公共点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【详解】.
得.又设关于的对称点为，
则，故：.
又两圆有公共点，则.
故答案为：.
22. （2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______.
【答案】##-0.75
【解析】
【详解】法一：设直线，，，，
由已知，联立，故，
故有，结合得：；
法二：角度焦半径公式：设直线与轴的夹角为，

得到抛物线的准线方程为，与y轴交于点T，
过点B作BM⊥准线交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E，
则ET=BM，
由抛物线定义可得：，
其中，
故，解得：，
同理可得：，
因为，
所以，
设直线与轴夹角的正弦值为，正切值为，
由于在第一象限，，则.
故答案：.
23. （2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________.
【答案】8
【解析】
【详解】圆的圆心为，半径为4，
设线段的中点为，
由垂径定理得：，
由基本不等式可得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故答案为：8
24. （2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）已知，分别为双曲线的左､右焦点，点P在双曲线上，若，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【详解】不妨假设点P在双曲线右支上，则 ，

由于，，故，
故，
而 ，
故 ，
故答案为：
25.（2022年广东省高三模拟试卷） 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则______．
【答案】
【解析】
【详解】设点，则直线的方程为，即，
因为，的半径为2，
故弦的弦心距为，即圆心到直线的距离为，
故，解得，即,
故,
故答案为：.
26.（2022年河北省南宫中学高三模拟试卷） 已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为__________.
【答案】##
【解析】
【详解】由题意，，由于双曲线与都关于轴对称，因此它们的交点关于轴对称，所以，
设，则，，
．
故答案为：．
27. （2022年江苏省南通市高三模拟试卷）如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，，则该双曲线的离心率是______________.
　
【答案】2
【解析】
【详解】以最窄处的中点为原点建立直角坐标系，如下图：

设双曲线的方程为 ，则 ， ，
代入双曲线方程得： ，解得： ， ；
故答案为：2.
28. 已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______.
【答案】
【解析】
【详解】解：

（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）如图所示，当点分别是、的中点时，是的两条中位线，若以为直径的圆过原点，则有,，
设点，则点,又点，
所以，，,
则，又，
所以，，得，
即只需，整理得：
解得，又，
所以.
故答案为：
29. （2022年湖南省师范大学附属中学高三模拟试卷）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是______；若双曲线的一条渐近线必过点，则双曲线的离心率的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】变形为，故经过定点，
变形为，过经过定点，
又，所以与始终垂直，
故点的轨迹为以为直径的圆，如图所示：

其中，即，且，
所以圆的半径为，
连接，如图1，此时取得最小值，长度为圆心距减去两圆半径，

即，
如图2，此时取得最大值，长度为圆心距加上两圆半径，
即，

综上：的取值范围是；
双曲线的渐近线为，
由于点在第一象限，所以渐近线必过点，
双曲线的离心率为，当取得最大值时，离心率最大，
如图3，当与圆相切于点时，取得最大值，
由点到直线距离得：，
即，方程两边同除以得：
，解得：，
其中为图4中的情况，舍去，
故，此时离心率.



故双曲线的离心率的最大值为.
故答案为：，
30. （2022年湖南省长沙市理雅中学高三模拟试卷）设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】解：设，，焦距为2c，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，
当时，可得，即，
可得，则，所以，
由，可得，可得，即，
，
可设，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，可得，
所以．
故答案为：.

31. （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，，与相交于点，且，则的面积为______.
【答案】
【解析】
【详解】作图如下，

由得，即,
又因为为，的中点，
所以,所以,
所以为的三等分点，且,
又因为,所以,且,
所以,
不妨设，且在第一象限，
，所以，
因为点在抛物线上，
所以，
所以根据相似关系可得，
所以,
故答案：.
32.（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则___　　．
答案：6
【解析】椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，
△为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，
，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，解得，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．
故答案为：13．

四、简答题
33. （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，，点在椭圆上，椭圆上的动点（不与，重合）满足直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的切线，与直线、直线分别交于，两点，求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）求得切线的方程，通过联立方程组求得的坐标，进而求得面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【小问1详解】
，设，
依题意①，，②，
③，
由②③得，代入①得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
对于，，由于，所以切线的斜率存在，
设切线的方程为，
由，
消去并化简得，
，
整理得，
所以，即，解得，
所以切线的方程为，
，
由，，，
则，
由解得，所以，
由解得，所以，
由整理得直线的方程为
到直线的距离为，
，
整理得，
所以
.
由于，且，
所以且，
所以，所以当时，取得最小值为.
34. （2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）与椭圆有公共焦点的双曲线过点，过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点为坐标原点）.
（1）求双曲线的方程;
（2）求的面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）12．
【解析】
【分析】（1）设双曲线方程为(),由椭圆焦点坐标求得，再代入已知点坐标后结合，可求得，得双曲线方程；
（2）设直线方程为，，，直线方程代入双曲线方程应用韦达定理得，由求得的范围，由坐标求得三角形面积并代入韦达定理的结论化为关于的函数，换元并利用函数的单调性得面积最小值．
【小问1详解】
设双曲线方程为(),
由题知：得到，又得到，
得到，所以（舍）或，
则双曲线的的方程为；
【小问2详解】
显然直线与轴不垂直，设：，，，
由双曲线的对称性知的中点为，故
联立
故，
由于A，均在双曲线右支，故，
解得，
，
代入韦达定理得，
令，则，
易知随的增大而减小，则当时，，
综上：的面积的最小值为12.
35. （2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：由题意可知，c=1，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
得，
解得（舍），，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
设，，，，，
因为，所以，即，
又，都在椭圆上，
所以，，
即，
②-①得，
即……③，
又，同理得……④
④-③得，
所以.
36. （2022年江苏省高三模拟试卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．
（1）若，求横坐标的取值范围；
（2）记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
设，
∵，∴，即，∴，
直线的方程为：，
整理可得，，令，则，
即横坐标的取值范围；
【小问2详解】
的重心为，，
∴，又，且，
∴，化简得，，
∵，
∴，
.
即，所以λ为定值．
36. （2022年江苏省连云港市高三模拟试卷）已知椭圆C：经过点，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
将点，点代入椭圆方程，
得，解得，所以椭圆方程．
【小问2详解】
由题意直线AB的斜率一定存在，
由（1）知，c=1，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线AB方程为：y＝k（x－1），D坐标为．
所以，
设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．
恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故（定值）．
37. （2022年江苏省南通市高三模拟试卷）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
方法一：设椭圆的焦距为，则.
不妨设，，
所以，，
所以，解得.
因为，所以椭圆的标准方程.
方法二：设椭圆的焦距为，则.
由解得，，
所以椭圆的标准方程.
【小问2详解】
显然直线AP，AQ斜率都存.
设直线AP的方程为.
令，得.
设直线的方程为，同理可得.
因为，所以，
所以.
设直线的方程为.
由得，
所以，，
所以，所以，
所以解得.
所以直线过点.
38 （2022年江苏省南通市高三模拟试卷）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.
（1）若点，求的长；
（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.
①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
抛物线：的焦点，准线，
设，，
∵，即，所以，
∴抛物线C在A处的切线斜率，切线方程是，即.
同理可得：抛物线在B处的切线方程是.
联立方程，解得，即，
又∵，则，即，可得，
∴.
【小问2详解】
①→②：
∵，，
∴，，
因为，则，可得：，
由于，即，
所以，即，由（1）可得：，
故点P在抛物线C的准线上.
②→①：
，，
因为点P在抛物线C的准线上，则，即，
所以，则，
又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，
所以直线AB过抛物线C的焦点.
39. （2022年江苏省苏州高三联考模拟试卷）已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程．
（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P．若，且点Q满足，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）6.
【解析】
【详解】解析：（1）由题意，得，解得：，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可得,若直线的斜率为0，则的方程为：与直线无交点，不满足条件.
设直线，若，则则不满足，所以
设，
由，得：，
，
因为，即
则，
所以，解得．
于是．
直线的方程为：
联立，解得，所以．
所以，
当且仅当时，．
40. （2022年湖南省师范大学附属中学高三模拟试卷）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，圆的方程为，的取值范围是
【解析】
【小问1详解】
由题意得：，
故，
双曲线渐的近线方程为，
故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，
因为，解得：，
故，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设直线为，
联立与，得：
，
由得：，
设，
则，
因为，所以，
其中
，
整理得：，
将代入中，解得：，
又，解得：，综上：或，
原点到直线的距离为，
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，
该圆的半径即为，故圆的方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，
与椭圆的两个交点为，或，，
此时，满足要求，
经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，
综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；
，
将代入上式，

令，则，
因为，则，
所以，
因为，所以，
故当时，取得最大值，最大值为，
又，
当直线的斜率不存在时，此时，
综上：的取值范围为.
41.（2022年湖南省邵阳市高三模拟试卷） 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】（1）由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线：，当时，，，
由得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得， ，即恒成立.
即，即经过点，
故直线过定点.
42.（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷） 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的方程.
（2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，使得以线段为直径的圆恒过点
【解析】
【小问1详解】
两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
【小问2详解】
由题意得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
43. （2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）已知椭圆的左､右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明过程见详解
【解析】
【小问1详解】
由题意知：，
因为为锐角，故，

由题意知：，解得：，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
根据题意，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立可得：，
则，即.
设，则，.
因为，根据向量加法与减法的几何意义可得：，
则，因为，
所以
，
也即，
整理化简可得：，
解得：或，此时均满足，
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点，
此时定点与点重合，故舍去，
综上，直线恒过定点，定点坐标为.
44.（2022年广东省高三模拟试卷） 已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点．
（1）若，求l的方程；
（2）若点，直线AP交直线于点Q．设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
双曲线C的左焦点为，
当直线l的斜率为0时，此时直线为，与双曲线C交点在两支，舍去；
当直线l的斜率不为0时，设，
联立方程组，消x得．
由于过点F作直线l交C的左支于A，B两点，而双曲线渐近线为，
故直线的斜率或，解得：，
设，，
所以，．
因为，所以，
即，，
所以，
解得：，
所以l的方程为．
【小问2详解】
由直线，得，
所以，
又，
所以
，
因为，所以，且，
所以（定值）．
45. （2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）平面直角坐标系中，已知点.点满足，记点的轨迹.
（1）求的方程；
（2）设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【小问1详解】
由题意得：，，
所以点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，
即，
所以的方程为；
【小问2详解】
由对称性，不妨设在第一象限，设，则，
设直线的斜率为，记，由为的角平分线，
则，其中，，
所以，
同理得：，
，
代入中，，
化简得：，
将代入，中，解得：，
所以，，
设直线的方程为，将代入，解得：，
所以直线的方程为，
由点到直线距离公式得：，
由直线的斜率为，设直线的方程为，
将点代入，解得：，
所以直线的方程为，将其与联立得：
，
设，
则，
由可知：，又，所以，
，
由均值不等式，，当且仅当，
即时，等号成立，因为，故，
所以，当且仅当时，等号成立，
的最大值为.