模拟卷05 导数及其应用——【新高考】2023年高考数学专题模拟卷汇编（原卷版+解析版）

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模拟试卷汇编五：导数解析版
一、单选
1. （2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷）若函数是增函数．则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：的定义域为，
由，得，
因为是增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，解得，
故选：D
2. （2022年福州八中高三月考模拟试卷）已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，设是实数集上的减函数，且，
所以由，
故选：B

3. （2022年华美实验高三月考模拟试卷）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】依题意，，令，，
则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，
因此，，，而，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4.（2022年湖北黄冈高三月考模拟试卷）已知是自然对数的底数，设，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：已知是自然对数的底数, ，，，
设，则，
当时，，函数在上是增函数，
当时，，函数在上是减函数，
，，而，所以，
又∵（），为常用不等式，可得，
令，，
当时，，函数在上是减函数，
故，则，即，则，故：
故选：A．
5. （2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，
所以的解集中恰有两个正整数，
由可得， ，
令，则，，单调递增，
，单调递减，
作出函数与的图象如图，

当恰有两个正整数解时，即为1和2，
所以，
故选： C
6. （2022年湖南省长沙市高三月考模拟试卷）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.
故选：D.
7.（2022年湖南省长沙市高三月考模拟试卷） 函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 2 B. 1 C. 4 D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】令，得，
令，，
故在和上是单调递增函数，
令，得，
的图象可由的图象向右平移1个单位长度得到，
易知和的图象都关于中心对称，
在同一个坐标系作出和的图象如图所示：


易知它们有两个交点，且关于中心对称，
所以.
故选：A
8.（2022年河北承德市高三月考模拟试卷） 函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，所以，
函数在上有且仅有一个极值点，
在上只有一个变号零点.令，得.
设在单调递减，在上单调递增，，
又，得当，在上只有一个变号零点.
经检验，不合题意，
故选：B.
9. （2022年福建福州高级中学高三月考模拟试卷）若对任意的，，且，都有，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以由可得，
，即．
所以在上是减函数，
，
当时，，递增，时，，递减，
即的减区间是，
所以由题意的最小值是．
故选：A．
10.（2022年河北南宫中学高三月考模拟试卷）已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得
故选：C.
11. （2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则以下四个命题：①；②；③；④中一定成立的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】∵，，∴，
又是偶函数，，两边求导得，∴是奇函数，，，
∴，即，
是周期函数，4是它的一个周期，，
，∴是周期函数，4是它的一个周期，
，，
，
是周期为4的周期函数，又是奇函数，，，
，，
，，所以，
，，因此，不能得出，
一定正确的有①②④，共3个．
故选：C．
12.（2022年徐州市高三月考试卷） 设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
又因为对于任意，在总存在，使得，
在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，
所以在与上都趋于无穷大；
令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，故，
.
因为函数有且只有三个零点，
而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，
当时，，则，
即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，
当时，，则，所以在处取得零点，
结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，
所以有且只有三个零点，满足题意；
综上：，即.
故选：C.
13. （2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时，的范围是
C. 当时，点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】B
【解析】
【详解】对于A，，
令，解得：或，
因为，所以令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值,
所以A正确；
对于B，要使有且仅有3个零点，
只需即，所以，
所以的范围是，故B不正确；
对于C，当时，，
，
，所以点是曲线的对称中心，所以C正确；
对于D，，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得：，令，
所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
,
令，解得：或，
因为，所以令，得或，
令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，如下图所示，

当时，与图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确，
故选：B
14. （2022年江苏宿迁市高三月考模拟试卷）设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，进一步得到，根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围，进一步求出答案.
【详解】设，∴，
∴在的范围内单调递增，，
∴
由此可得，
设，∴，
∴在的范围内单调递减，，
∴

由此可得，，
显然，



所以，
综合可得.
故选：D.
15. （2022年江苏苏州八校联盟高三月考模拟试卷）设，（e是自然对数的底数），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以.
又单调递增，所以
所以，即.
而由二项式定理得：.
对于a、c，由，.
记，则，
所以在上单调递增，所以.所以，所以.
综上所述：.
故选：C
16. （2022年湖南师范大学附属中学高三月考模拟试卷）若实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，
所以，即，
所以，
令，
则，即，
所以，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
要想使得成立，只有时，即时，满足要求，
所以，
由定义域可知：，
解得：，
，A选项正确；
，BC错误.
，D错误；
故选：A.
二、 多选
17.（2022年江苏徐州市高三月考模拟试卷） 已知函数的导函数为，则（ ）
A. 若在处取得极值，则
B. 若函数在上是减函数，则当时，
C. 若为偶函数，则是奇函数
D. 若是周期函数，则也是周期函数
【答案】ACD
【解析】
【详解】A:根据极值的定义，极值点处导数值为0，A对；
B：反例是减函数，但是故B错；
C：为偶函数，所以
所以是奇函数，C对；
D：是周期函数，若为其一个周期，则，也为周期函数，故D对;
故选：ACD
18. （2022年苏州八校联盟高三月考模拟试卷）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】因为，所以，.
由，得，
设，则，
可得，则在定义域上单调递减，
因为，所以，则，故A正确；
因为，所以，则 ，故B错误；
因为，所以，则，故C正确；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ACD.
19.（2022年广东华美实验高三月考模拟试卷） 若直线与曲线相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【详解】由得，
设直线与曲线相切于点，
则且，消去得，
所以A正确，B错误；
取等号，C错误；
，设，由得，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，即，D正确，
故选：AD.
20. （2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】解：若为偶函数，则，故，则为奇函数
故，
由可得，
又可得，两式相减得，
所以函数的周期为4；
由可得
又可得，两式相加得
所以函数的对称中心为；
则，，故A选项正确；
又，则，由函数的周期为4
可得，，故B，D选项正确；
可得，所以，故C选项不正确；
故选：ABD.
21.（2022年福州八中高三月考模拟试卷） 已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（ ）
A. B.
C. 当时，
D. 当时，若所有根记为，，，，且，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】，，，
上单调递减，上单调递增，
在处取得极小值，而，且，
在上单调递减，上单调递增，
在处取得极小值，依据题意，和有相同的极小值，
故，解得，故A正确；
作出函数图象如下图所示，若，则与、相交时，或者，故B错误.

由图像可知，当时，，所以，C正确；
若的所有根记为，，且时，
则有，，可得，
即，又
，同理可得，，则，故D正确.
故选：ACD.
22.（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷） 若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 的取值范围是
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】，有两个极值点，且，
∴，有两个零点，，且在，各自两边异号，
∴与有两个交点，，
记，则，易知：时，时，
∴在上递增，在上递减，即在上递增，在上递减．
∴有最大值，且时；时，又，，
由上的图象如下，

∴当且仅当时与有两个交点，才符合条件，且，故A正确，B不正确．
又，
∴，故 C正确．
令，则，
∴，则，，
∴要证，只需证，只需证，
令，则，
∴在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确．
故选：ACD
23. （2022年福建闽江附中高三月考模拟试卷）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【详解】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD
24. （2022年江苏镇江高三月考模拟试卷）下列判断正确的有（ ）
A. 当时，方程存在唯一实数解
B. 当时，
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【详解】时，,即在上无解，
故A错误；
时令，

在单调递减，所以即
故B正确；
因为
令
令，
所以在单调递减，所以，
即
则在上单调递减，
，即，即
故C正确；

故D正确；
故选：BCD.
25. （2022年江苏南通市高三月考模拟试卷）已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的极小值是
C. 当时，对于任意的，都有
D. 函数的图像有条切线方程为
【答案】AB
【解析】
【详解】因为
所以，，
所以的单调减区间为，
故A正确．
令，
则或
所以在，单调递增
在单调递减
所以函数的极小值为，
故选项B正确；
由，
若
即


矛盾，
故选项C错误．
，
解的或，
当时切点不在上
当时切点不在上，
故选项D错误，
故选：AB．
26. （2022年江苏连云港市高三月考模拟试卷）已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是（ ）
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在上有极大值 D. 在上有极小值
【答案】ABC
【解析】
【详解】由，可知，则，即．
设，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值．
故选：ABC．
三、填空题
27. （2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【详解】由已知，，则
所以，，
所以，.
故答案为：.
28. （2022年福建闽江附中高三月考模拟试卷）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【详解】，令，此时，，故切线方程为，
化简得，
故答案为：.
29.（2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷） “m＞1”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”中选择一个填空)
【答案】充分不必要
【解析】
【详解】①时，，即；
②对于函数，，
若，则，f(x)在x>0时单调递减，没有最大值；
若，则时，，单调递增；时，，单调递减；
∴，若，则．
故“m＞1”是“函数的最大值小于1”的“充分不必要”条件．
故答案为：充分不必要．
30. （2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数（e是自然对数的底数），则曲线在处的切线方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】依题意，由，得，即切点；
又，则曲线在点处切线的斜率，
∴切线方程为，即．
故答案为：
31. （2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷）已知，是曲线的两条倾斜角互补的切线，且，分别交y轴于点A和点B，O为坐标原点，若，则实数a的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【详解】设切线，的切点坐标为，，
由函数，求导可得，
由题意可知，，即，
可得，，
令，，
故，同理可得，
则，由于，则等号不能取，
即，解得，即的最小值为.
故答案为：.
32. （2022年福建德化高三月考模拟试卷）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【详解】因为函数，
则，
令，解得：；令，解得：或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，
当时，函数取极大值时函数值为正，
作出函数的草图，

如图，要使方程有两个不相等的实数根，则有或，
故答案为：.
33.（2022年福建福州八中高三月考模拟试卷） 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则___________．
【答案】0
【解析】
【详解】解：由切点，，则在点处的切线方程为，
即，
由切点，，则在点处的切线方程为，
即，
由题知：两条直线是同一条直线，
则：，
化简得：．
∴ ．
故答案为：0．
34.（2022年湖北黄石高三月考模拟试卷）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
解析：联立，消去得（），两边取对数得，即，
设（），则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，∴，
又，当时，，∴，即，故填：.
35. （2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷）已知，若有且仅有三个整数解，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性结合已知即可得解.
【详解】解：，
令，
令，则，
所以函数在上递减，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
因为有且仅有三个整数解，
所以，即，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
36. （2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【详解】曲线在点A处的切线可写作
设该切线在曲线上的切点为，
则有，消去t得
则
当且仅当，即时取得该最小值.
故答案为：.
37.（2022年江苏连云港市高三月考模拟试卷） 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则的最小值为___________
【答案】9
【解析】
【详解】分析：求出原函数的导函数，由=2a+b=2，得a+=1，把变形为+后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．
详解：由f（x）=ax2+bx，得=2ax+b，
又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
所以=2a+b=2，即a+=1．
则=+=（+）（a+）=5++≥9．
当且仅当=，即a=，b=时“=”成立．
所以的最小值是9．
故答案为9

四、简答题
38. （2022年江苏盐城市高三月考模拟试卷）已知函数，若在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【小问1详解】
因为，
所以，
由题意得，
所以，；
【小问2详解】
由（1）得，，
因为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
又，，
因为
故函数在上的最大值为．
39. （2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：函数的定义域为，，
当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；
当时，令，则，
时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
故在取极小值，且，无极大值
综上，当时，无极值；
当时，在取极小值，且，无极大值.
【小问2详解】
解：∵，∴，即且
∴且，即，为的两个零点
∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故
又∵，∴，
又∵恒成立，∴对任意恒成立，
∵，∴，且
∴对任意恒成立
∴令，则，对任意恒成立，则.
∴对任意恒成立
令，则
当，即时，恒成立
故在为单调递增函数，
又∵，∴对恒成立
当，即时，为单调增函数，
又∵，，∴使，
当时，，故在单调递减
∴当时，，不合题意
综上，实数的取值范围为.
40.（2022年广东广州第十七中学市高三月考模拟试卷） 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得：，
当时，恒成立，则在上单调递增，
当时，的解集为，的解集为，
即的单调增区间为，单调减区间为，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，由(1)知，，且，解得，
设，则，要证，即证，即证，
即证，设，
则，即在上单调递减，有，
即，则成立，因此成立，
要证，即证，即证，即证，即证，
而，即证，
令，则，
设，求导得，即在上单调递增，
则有，即，在上单调递减，而，当时，
，则当时，成立，故有成立，
所以，.
41. （2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷）已知函数，和．
（1）若与有相同的最小值，求a的值；
（2）设有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
小问1详解】
，则，
当时，，在R上单调递减，无最值，舍去；
当时，令，解得，所以上单调递减，在上单调递增，则；
因为，所以的定义域为，
，令，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，则，
根据题意得，解得.
【小问2详解】
由题意得，，
令，整理得，，
令，，所以在上单调递增，
又，所以，则题意可转化为在上有两个根，
令，则，
令，解得，，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，，图象如下所示，

所以，解得，所以.
42.（2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷） 已知函数，，在上有且仅有一个零点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
，设，
，
①当时，若，则，
在上无零点，不符合题意；
②当时，若，则，
∴在上单调递增，
∴，∴在上无零点，不符合题意；
③当时，若，则，∴在上单调递增，
∵，，
∴存在唯一，使得.
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
∵，，
故在上有且仅有一个零点，符合题意；
综上，的取值范围为.
【小问2详解】
记，
，
由（1）知：若，当时，，，
当时，，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故存在唯一，使得，且.
注意到，可知在上有且仅有一个零点，
且，即.
43. （2022年广东新高考广东高中模拟试卷）已知函数（，）
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，在上存在唯一零点，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】解：（1），．
又曲线在处的切线的斜率为2e，
∴，解得；
（2）若，则

令，得，
当时，有唯一解，即，
当时，；当时，．
∴在单调递减，在单调递增．
又∵有且只有1个零点，∴．即．
∵，，整理可得，故
44.（2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若，求b的最小值．
【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.
【小问2详解】
当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为
45. （2022年福建德化高中模拟试卷）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
定义域为，且
，
令得，或，
①当时，与，，单调递增，
，，单调递减，
②当时，，在单调递增，
③当时，与，，单调递增，
，，单调递减，
综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减；
【小问2详解】
由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要证，即证，
只需证，
令，，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，
即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵由对勾函数知在上单调递增，
∴，
∴，即，得证．
46. （2022年福建福州八中高中模拟试卷）已知函数 在区间内存在极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．
【答案】（1）.
（2）证明见解析，.
【解析】
【小问1详解】
由题设，，又，则且，
∴，即在上递增，故，
当时，在上，即递增，又，，
∴上，上，则在上递减，在上递增，
∴在处取极小值，符合题设.
∴.
【小问2详解】
要证在内存在唯一的使，只需证在上有唯一零点，
∴，由（1）知：在上递减，在上递增，
又时，，即在上递增，
综上，在上递减，在上递增，而，，
∴在无零点，在上存在一个零点，故存在唯一使.
由（1）知：，
∴，
令且，则，
令，则，则递增，
∴，即，故在上递增，则，
∴在有，
即有，又在上递增且，
∴
47. （2022年福建闽江附中高三月考模拟试卷）已知函数．
（1）若恒成立，直接写出a的值，并证明该不等式；
（2）证明：当时，；
（3）当时，不等式恒成立，求a的取值集合．
【答案】（1），证明详见解析
（2）证明详见解析 （3）
【解析】
【小问1详解】
的值为，即不等式，证明如下：
构造函数，
，所以在区间递减；
在区间递增.
所以，故，即不等式恒成立.
【小问2详解】
，
构造函数，
，
当时，，，，
所以，
所以在区间上递减.
当时，，，，
所以，
所以在区间上递增.
当时，，，
所以，
所以在区间上递增.
所以，
即.
【小问3详解】
当时，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
构造函数，即,
由于且，所以当时，取得最小值，
由于是可导函数，且，
则是函数的极小值点，
所以，解得.
下面证明当时，为的极小值点：
此时，
，
令，
，
由（2）可知，当时，，
所以在区间上递增，
，
所以在区间递减；在区间递增，
所以是的极小值点，符合题意.
所以的取值集合是.
48.（2022年湖北黄冈高三月考模拟试卷）已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)见解析
解析：（1）由，得，
令，则或，
∴当或时，；当时，，
∴在和上单调递减，在上单调递增，
∵且有两个正根，∴，
∴，∴的取值范围为．
(2)∵关于的方程有两个正实数根，，且．
由(1)知，∵，∴，
即，解得
设（），
则，
∴在上单调递减，∴，
∴，又在上单调递减，
∴，∴，
要证，只需证，即证，
∵且，∴成立
49.（2022年湖北黄石高三月考模拟试卷）函数，是的导函数．
(1)若，，求函数的最小值．
(2)对，且，证明：恒成立．
【答案】(1)2；(2)见解析.
解析：(1)证明：，当时，，
令，则，，
∴在[0,+∞)单调递增，∴，在[0,+∞)上单调递增．
∴时，，
∵，∴为偶函数，即时，，∴的最小值为2．
(2)


①，
令，
则①式等价于，，
当时，，
又∵，，∴，，
∴，
令，则，∴在上单调递减，
∴，故．
综上所述，对，且，恒成立
50. （2022年河北南宫中学高三月考模拟试卷）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调性见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令有，故当，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
51.（2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷）已知函数，.
（1）当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（2）若没有零点，求取值范围.
【答案】（1）①；②证明见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
若，则，.
①在处，，.
所以曲线在处的切线方程为.
②令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，
所以在上有唯一零点.
列表得：





+

-


极大值

所以在上有唯一极大值点.
【小问2详解】
，
令，则.
①若，则，在上是增函数.
因为，，
所以恰有一个零点.
令，得.
代入，得，
解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意.
综上，的取值范围是.
52.（2022年河北承德市高三月考模拟试卷）已知函数.
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在时取得极值，当时，求函数的最小值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
时，，则
则切线方程为，即.
故答案为：.
【小问2详解】
，
因为函数在时取得极值，所以，解得，
所以
令，得或，
令，解得
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最小值是或，
又因为，所以.
故答案为：.
53.（2022年河北承德市中学高三月考模拟试卷） 已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时，得到，求得，利用和，即可求解函数的单调区间；
（2）由，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；
（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，分类参数得出对恒成立，设函数，求得，求得函数单调性与极值，即可求解实数的最大值.
试题解析：
（1）当时，，．
令，解得，令，解得，
∴的单调增区间为，单调减区间为．
（2），
当时，由，知，
所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，∴当时，，
∴函数在区间上没有零点，不合题意．
当时，由，解得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
∴当时，，
又∵，在上的图象不间断，
∴函数在区间上有1个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为．
（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，
则由知，从而对恒成立（*）
记，得，
设，，
∴在是单调增函数，
又在上图象是不间断的，
∴存在唯一的实数，使得，
∴当时，在上递减，
当时，在上递增，
∴当时，有极小值，即为最小值，，
又，∴，∴，
由（*）知，，又，，∴的最大值为3，
即存在最大的正整数，使得在上恒成立．
54. （2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷）已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x>1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：若函数f（x）有极值点，则f（x）必有3个不同的零点.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
定义域为
，
令，即，
（i）若，即时，在上单调递增.
（ii）若时，在上恒成立，则有，在上单调递增.
（iii）若时，令，则；
当时，有；
当时，有.
因此在上单调递增，上单调递减，上单调递增.
综上：时，单增区间为，无单减区间；
时，单调递增区间为，
单递减区间为
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上单调递增，此时
当时，在上单调递减，此时有
这与矛盾，综上：的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）知，当时，无极值点
当时，在上单调递增，上单调递减，
上单调递增且
则为极大值，为极小值.
又
要使有3个不同的零点，则，
当时，，令
，当时，，令
，上各有一个零点
另一个零点为1，共3个不同的零点.
55. （2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷） 已知函数，，其中．
（1）若在上有两个不同零点，求a的取值范围．
（2）若在上单调递减，求a的取值范围．
（3）证明：，．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【小问1详解】
，，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以时，取最小值．
因为在有两个不同的零点，所以，所以．
下面验证：当时，在有两个不同的零点.
当时，，，
令，则，
当时，，单调递减，
则，
所以，又，，
时，单调递减，时，单调递增，
所以在，上各有一个零点，即在有两个不同的零点.
综上，.
【小问2详解】
在区间上单调递减，
即在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
当时，，，
所以，即在上单调递增，
所以当时，，所以．
【小问3详解】
由（2）知时，，所以，即，．
令得，
所以，
即，．
56. （2022年江苏扬州市中学高三月考模拟试卷）设函数
（1）求函数的极值；
（2）若方程在有两个实数解，求的取值范围；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.
【解析】
【详解】（1）由，定义域为，
，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以为函数的极大值点，
则函数的极值为.
（2）由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，
又，
∴ ．
∴ 当时，方程有两解．
（3）∵ .
∴ 要证：只需证，
只需证：．
设，
则．
由（1）知在单调递减，
又，
∴ ，
即是减函数，而．
∴ ，故原不等式成立．
57. （2022年江苏徐州市中学高三月考模拟试卷）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为与，单调递减区间为；
当时，单调递减区间为与，单调递增区间为；
（2）详见解析.
【解析】
【小问1详解】
，
当时，，
当时，单调递增，
当时， 单调递减，
当时，，
令得，
当或时，单调递增，
当时， 单调递减，
当时，当或时， 单调递减，
当时， 单调递增，
综上：当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，单调递减区间为和，单调递增区间为；
【小问2详解】
要证，即证 ，
令，，
令，，显然在上为增函数，
所以，在上为增函数，
又 ，
，即 ，
当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
，
令，显然在上为减函数，
所以，，
所以，，
即当时，成立.
58. （2022年江苏宿迁市高三月考模拟试卷）已知函数．
（1）试判断函数零点个数；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）个
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，且，
下面确定函数在上的零点个数，
当，记，
记，，在上递增，
又，在上递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
，，
又，所以函数在上有且只有一个零点，故函数在上有且只有一个零点，
由奇函数的性质可知，函数在上只有一个零点，
所以函数有三个零点.
【小问2详解】
解：由，可得，
由（1）知：
①当时，，，
此时，对于任意，恒成立.
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值，
，
令，则，令，
对任意的成立，
函数在上为增函数，
而
，
又，存在唯一实数，使得，
当时，；当时，.
函数在上递减，在递增，
，
，函数在上递减，
，.
③当时，，
由，得，
由②可知，
所以函数在上为减函数，
当时，，
，综上，
59.（2022年江苏苏州市八校联盟高三月考模拟试卷）设，函数．
（1）求证：存在唯一零点；
（2）在（1）的结论下，若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
解法一：
，
令，
在上单调递减；上单调递增，∴，
∴，在上单调递增.
当时，，
令，∴，，
∴在上有唯一的零点．
解法二：
∵，
∴，
∴.
∴当时，在内单调递减，
当时，在内单调递增，
∴，∴在上单调递增，
∵，∴当时，存在唯一零点；
当时，，取，

，
所以，由零点存在性定理可知：，使得．
综上，存在唯一零点．
【小问2详解】
由（1）中可知：，
∴，
∵，∴，
∴，
令，∴，∴.
下证：
设，∴，∴在R上单调递减
又，∴当时，，∴
设
∴
∴在上单调递增
∴，∴在上单调递减
再设
∴
∴
∴在上单调递增
∴，∴在上单调递减
∴，∴，当时取“=”
综上，与在上都单调递减，且，，，∴，即得证．
60. （2022年江苏连云港市八校联盟高三月考模拟试卷）已知函数，其导函数的图象关于轴对称．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
【详解】（Ⅰ）.
导函数的图象关于轴对称，.
又，解得.
.

（Ⅱ）由（Ⅰ），得.
令，解得.
当 或时，， 在上分别单调递增.
又当时，， 在上单调递减.
的极大值为，极小值为.
实数的取值范围为.
61. （2022年江苏淮安市高三月考模拟试卷）已知函数
（1）设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值；
（2）若方程恰有两个相异的实根，试求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
因为的定义域为，
所以由，得在上恒成立，
设，则，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
故，即，所以实数a的最小值为
【小问2详解】
由得，即，即，
令，
则，
设，则，
故函数在上单调递减，又，
所以在上，故，所以单调递增，
在上故，所以单调递减，
所以，
因为方程恰有两个相异的实根，所以恰有两个零点，
结合的单调性可知，必有，即，故，
下面证明当时，在上恰有两个零点，
因为在上单调递增，又，，，则，故，
又，所以，
又，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点；
因为在上单调递减，又，，，则，故，
又，故，所以，
令，则，故在上单调递减，
所以，则，故，
又，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点；
综上：当时，在上有两个零点，则恰有两个相异的实根，
故实数a的取值范围为
62.（2022年湖南省师范大学附属中学高三月考模拟试卷）已知函数，．
（1）若直线是曲线的切线，求的最小值；
（2）设，若函数有两个极值点与，且，证明．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【详解】（1）设切点，
由得，
因为切线为，故，所以．
又因为，
所以，所以，
因此．
令，，
则对恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以的最小值为．
（2）因为，
若函数有两个极值点与，
则，，，所以；
因此
，
令，，
则，
构造函数，
则在上显然恒成立，
所以在上单调递增，则；
所以，即，
又，则，因此，
所以．
63. （2022年湖南省师长沙市高三月考模拟试卷）已知函数.
（1）证明：.
（2）若函数，若存在使，证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
小问2详解】
∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
64. （2022年湖南省张家界市高三月考模拟试卷）已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
【答案】（Ⅰ） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.
【解析】
【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：

























所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得
，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知可得.
类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，
，即对任意，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故，
所以.