2023成都七中高三下学期入学考试数学（文）试题含解析

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成都七中高2023届高三下期入学考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项填涂在答题卡上）1. 集合，，则等于（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据交集运算法则直接计算即可.【详解】，，则.故选：A2. 已知，则z的虚部是（    ）．A. 5 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由复数除法求得后可得.【详解】,虚部是.故选：C.3. 在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（    ）．A. 对立事件 B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，所以这两件事不是必然事件.故选：C4. 函数的图象大致是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解.【详解】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得，所以排除选项C.故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）．A. 6 B. 5 C. 3 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线经过点A时，z取得最小值，联立，此时．故选：D.6. 函数在上是（    ）．A. 增函数 B. 减函数C. 先增后减 D. 先减后增【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数图像与性质判断即可.【详解】因为，所以，根据正弦函数的性质知，此时单调递增;故选：A7. 我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的体积为（    ）．A.  B. 1 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先还原几何体，由棱锥的体积公式求解即可.【详解】如下图，还原几何体，其中平面，底面为矩形，，，侧棱，所以四棱锥的体积为.故选：C8. 某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
 用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）．A. 57周岁以上参保人数最少B. 18～30周岁人群参保总费用最少C. C险种更受参保人青睐D. 31周岁以上的人群约占参保人群80％【答案】B【解析】【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.故选：B9. 已知数列中，，当其前项和最小时，n是（    ）．A. 4 B. 5 C. 5或6 D. 4或5【答案】D【解析】【分析】令，求出的范围，即可得出答案.【详解】令，可得，令，可得，又，所以当其前项和最小时，4或5.故选：D.10. 已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（    ）．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】函数零点的个数，即为函数两个图象交点的个数，作出函数的图象，结合函数图象即可得出答案.【详解】令，则，则函数零点的个数，即为函数两个图象交点的个数，作出函数的图象，如图所示，因为，所以，所以，由图可知的图象有三个交点，所以函数有3个零点.故选：C11. 过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为A.  B.  C.  D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. 关于x方程的两个根为a，b，且，则以下结论正确的个数是（    ）．（1）；（2）；（3）；（4）．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的图象与性质判断（1），再由不等式的性质判断（2）（3），构造函数，利用导数的单调性判断（4）.【详解】方程的两个根为a，b，所以，如图，，，即，，故（1）正确；，，解得，故（2）正确；由，，因为在上单调递减，故，所以，故（3）正确；由知，，设，则，令解得，故当时，，故在上递增，因为，所以，，故，又由上递增知，则，故（4）错误.故选：C二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡指定横线上）13. 已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，然后根据向量平行的坐标表示建立方程求解.【详解】由题意得，因为，所以，解得.故答案为：.14. 若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______.【答案】##3.5【解析】【分析】由题意列出方程，求出.【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.故答案为：.15. 已知二次函数满足条件：（1）的图象关于y轴对称；（2）曲线在处的导数为4，则的解析式可以是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，确定函数为偶函数，，，满足条件，得到答案.【详解】取，则，函数为偶函数，关于y轴对称；，，满足条件.故答案为：（答案不唯一）16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】##【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，因为是正三棱锥，所以D是的中心，所以，又因为，所以，，所以，令，解得或，当，；当，，所以在递增，在递减，故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.故答案为：三、解答题（本题共7小题，17～21题各12分，22或23题10分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请作答在答题卡上）17. 已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.（1）求{}和{}的通项公式;（2）设，求数列{}的前20项和.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件可知，，得，，所以，等比数列中，，则，，所以；【小问2详解】,对数列为奇数时，，所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列为偶数，，所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的前20项和为：.18. 随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别分组频数频率第1组140.14第2组m 第3组360.36第4组 0.16第5组4n 合计   （1）求m，n，x，y的值；（2）满意度在90分以上的4位居民为2男2女，现邀请2人参加抽奖活动，求2人中有男性的概率．【答案】（1），，，    （2）【解析】【分析】（1）直接根据频率分布表和频率分布直方图计算即可；（2）利用列举法结合古典概型求解即可.【小问1详解】由题意可得第四组的人数为，所以，，又内的频率为，所以，内的频率为0.04，所以；【小问2详解】设四个人为男1、男2、女1、女2，抽两人有男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2，共6种情况，有男性的情况是男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2，总共5种，所以2人中有男性概率为．19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．（1）若，求证：直线平面PAB；（2）已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．【答案】（1）证明见解析    （2）90°．【解析】【分析】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）过点M作，交AD于K，连接KN，由线面垂直的判定定理证明面MNK，即可得出，即可得出答案.【小问1详解】取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，因为，所以且，又因为，且，点N为BC中点，所以且，则四边形MQBN为平行四边形，所以，平面PAB，平面PAB，所以直线平面PAB．【小问2详解】过点M作，交AD于K，连接KN，可知面ABCD，因为面ABCD，所以，又因为，所以．∵∴，∴，，所以四边形AKNB为平行四边形，，又因为，所以，又，∴面MNK，因为面MNK，∴，所以异面直线MN与AD成角为90°．20. 椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由离心率得，代入面积的最大值为可求得得椭圆方程；（2）设直线BC方程为，，，直线方程代入椭圆方程后由韦达定理得，由直线方程求得的纵坐标，从而计算并代入可得结论．【小问1详解】由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得．设，，由，所以的最大值为，将代入，有，解得，，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】，设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，，可得，由韦达定理可得，，直线BA的方程为，令得点M纵坐标，同理可得点N纵坐标．则，，所以．【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设出直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理得（或），再利用交点坐标表示出题中要求的量，代入韦达定理的结果化简即可得结论．21. 已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）若实数满足，证明：．【答案】（1）在上单调递减    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导可得，令，再对求导，求出的单调性以及正负，即可求出的单调递减区间；（2）将题目转化为，令，有，要证，即证，即，设，对求导，研究的单调性和最值，即可证明.【小问1详解】因为，令，故恒成立，故函数在R上单调递减，而，所以当时，，；当时，，．故在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】由得，令，有，由（1）可得在在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故a，b一正一负．不妨设，要证，即证，即证，即，设，注意到，则，令，则，当时，显然恒成立，所以上单调递增，则，又在上恒成立，所以当时，，所以在上单调递减，，因为，所以，即得证．【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．请考生用2B铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值．【答案】（1）曲线的极坐标方程为；即曲线的直角坐标方程为    （2）2【解析】【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)利用极径的几何意义求解.【小问1详解】∵,则，∵，曲线的极坐标方程为；由，得，即曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】由得 ， ①由得，②可得 ，即设P，Q两点所对应的极径分别为，则，∴.23. 已知函数.（1）求的最大值;（2）若正数满足，证明: 【答案】（1）    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题知，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.【小问1详解】解：当时，；当时，；当时，，所以因为当时，函数单调递减，或时，函数为常函数，所以，函数的最大值为，即【小问2详解】解：因为，，，所以，因为，由（1）知，即，所以，所以，，当且仅当时等号成立，所以，证毕.