四川省成都市第七中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学（文）试题 Word版含解析

这是一份四川省成都市第七中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学（文）试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项填涂在答题卡上）
1. 集合，，则等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集运算法则直接计算即可.
【详解】，，则.
故选：A
2. 已知，则z的虚部是（ ）．
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数除法求得后可得.
【详解】,虚部是.
故选：C.
3. 在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A. 对立事件B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件D. 不是互斥事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.
【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是必然事件.
故选：C
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解.
【详解】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D.
由题得，所以排除选项C.
故选A
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A. 6B. 5C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线经过点A时，
z取得最小值，联立，
此时．
故选：D.
6. 函数在上是（ ）．
A. 增函数B. 减函数
C. 先增后减D. 先减后增
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角函数图像与性质判断即可.
【详解】因为，所以，根据正弦函数的性质知，此时单调递增;
故选：A
7. 我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的体积为（ ）．
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先还原几何体，由棱锥的体积公式求解即可.
【详解】如下图，还原几何体，其中平面，底面为矩形，
，，侧棱，
所以四棱锥的体积为.
故选：C
8. 某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）．
A. 57周岁以上参保人数最少
B. 18～30周岁人群参保总费用最少
C. C险种更受参保人青睐
D. 31周岁以上的人群约占参保人群80％
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.
故选：B
9. 已知数列中，，当其前项和最小时，n是（ ）．
A. 4B. 5C. 5或6D. 4或5
【答案】D
【解析】
【分析】令，求出的范围，即可得出答案.
【详解】令，可得，
令，可得，
又，
所以当其前项和最小时，4或5.
故选：D.
10. 已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】函数零点的个数，即为函数两个图象交点的个数，作出函数的图象，结合函数图象即可得出答案.
【详解】令，
则，
则函数零点的个数，即为函数两个图象交点的个数，
作出函数的图象，如图所示，
因为，所以，所以，
由图可知的图象有三个交点，
所以函数有3个零点.
故选：C
11. 过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.
【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.
【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12. 关于x方程的两个根为a，b，且，则以下结论正确的个数是（ ）．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的图象与性质判断（1），再由不等式的性质判断（2）（3），构造函数，利用导数的单调性判断（4）.
【详解】方程的两个根为a，b，所以，如图，
，，即，，故（1）正确；
，，解得，故（2）正确；
由，，因为在上单调递减，故，所以，故（3）正确；
由知，，
设，则，令解得，
故当时，，故在上递增，
因为，所以，，
故，又
由上递增知，则，故（4）错误.
故选：C
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡指定横线上）
13. 已知向量，，若，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出的坐标，然后根据向量平行的坐标表示建立方程求解.
【详解】由题意得，
因为，所以，解得.
故答案为：.
14. 若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______.
【答案】##3.5
【解析】
【分析】由题意列出方程，求出.
【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.
故答案为：.
15. 已知二次函数满足条件：（1）的图象关于y轴对称；（2）曲线在处的导数为4，则的解析式可以是__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】取，确定函数为偶函数，，，满足条件，得到答案.
【详解】取，则，函数为偶函数，关于y轴对称；
，，满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，
如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，
要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，
因为是正三棱锥，所以D是的中心，
所以，
又因为，所以，
，
所以，
令，
解得或，
当，；当，，
所以在递增，在递减，
故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，
故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.
故答案为：
三、解答题（本题共7小题，17～21题各12分，22或23题10分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请作答在答题卡上）
17. 已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
（1）求{}和{}的通项公式;
（2）设，求数列{}的前20项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
【小问2详解】
,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：
.
18. 随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．
（1）求m，n，x，y的值；
（2）满意度在90分以上的4位居民为2男2女，现邀请2人参加抽奖活动，求2人中有男性的概率．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据频率分布表和频率分布直方图计算即可；
（2）利用列举法结合古典概型求解即可.
【小问1详解】
由题意可得第四组的人数为，
所以，，
又内的频率为，所以，
内的频率为0.04，所以；
【小问2详解】
设四个人为男1、男2、女1、女2，
抽两人有男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2，共6种情况，
有男性的情况是男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2，总共5种，
所以2人中有男性概率为．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
（1）若，求证：直线平面PAB；
（2）已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
【答案】（1）证明见解析
（2）90°．
【解析】
【分析】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，由线面垂直的判定定理证明面MNK，即可得出，即可得出答案.
【小问1详解】
取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
所以，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
【小问2详解】
过点M作，交AD于K，连接KN，
可知面ABCD，因为面ABCD，所以，
又因为，所以．
∵∴，∴，，
所以四边形AKNB为平行四边形，，
又因为，所以，
又，∴面MNK，因为面MNK，
∴，
所以异面直线MN与AD成角为90°．
20. 椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率得，代入面积的最大值为可求得得椭圆方程；
（2）设直线BC方程为，，，直线方程代入椭圆方程后由韦达定理得，由直线方程求得的纵坐标，从而计算并代入可得结论．
【小问1详解】
由题意，设椭圆半焦距为c，
则，即，得．
设，，
由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
，设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，
则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，，
直线BA的方程为，
令得点M纵坐标，同理可得点N纵坐标．
则，
，
所以．
【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设出直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理得（或），再利用交点坐标表示出题中要求的量，代入韦达定理的结果化简即可得结论．
21. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若实数满足，证明：．
【答案】（1）在上单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导可得，令，再对求导，求出的单调性以及正负，即可求出的单调递减区间；
（2）将题目转化为，令，有，要证，即证，即，设，对求导，研究的单调性和最值，即可证明.
【小问1详解】
因为，
令，故恒成立，
故函数在R上单调递减，而，
所以当时，，；
当时，，．
故在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
由得，
令，有，
由（1）可得在在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故a，b一正一负．
不妨设，要证，即证，即证，
即，
设，注意到，
则，
令，则，
当时，显然恒成立，
所以上单调递增，则，
又在上恒成立，所以当时，，
所以在上单调递减，，
因为，所以，即得证．
【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．请考生用2B铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值．
【答案】（1）曲线的极坐标方程为；
即曲线的直角坐标方程为
（2）2
【解析】
【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)利用极径的几何意义求解.
【小问1详解】
∵,则，
∵，
曲线的极坐标方程为；
由，得，
即曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
由得 ， ①
由得，②
可得 ，
即
设P，Q两点所对应的极径分别为，
则，
∴.
23. 已知函数.
（1）求的最大值;
（2）若正数满足，证明:
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题知，再求解最大值即可；
（2）根据基本不等式证明即可.
【小问1详解】
解：当时，；
当时，；
当时，，
所以
因为当时，函数单调递减，或时，函数为常函数，
所以，函数的最大值为，即
【小问2详解】
解：因为，，，
所以，
因为，由（1）知，即，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，证毕.
组别
分组
频数
频率
第1组
14
0.14
第2组
m
第3组
36
0.36
第4组
0.16
第5组
4
n
合计