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    课时跟踪检测(十三) 离散型随机变量的均值

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    这是一份课时跟踪检测(十三) 离散型随机变量的均值,共6页。试卷主要包含了已知随机变量ξ的分布列为,端午节吃粽子是我国的传统习俗等内容,欢迎下载使用。

    A.0.2 B.0.8
    C.1 D.0
    解析:选B 因为P(ξ=1)=0.8,P(ξ=0)=0.2,所以E(ξ)=1×0.8+0×0.2=0.8.故选B.
    2.已知随机变量ξ的分布列为
    若E(ξ)=7.5,则a等于( )
    A.5 B.6
    C.7 D.8
    解析:选C 由题意得,
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.3+0.1+b+0.2=1,,4×0.3+a×0.1+9b+10×0.2=7.5,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b=0.4,,a=7.))
    3.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经一段时间考察,ξ,η的分布列分别是:
    据此判定( )
    A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
    C.甲与乙质量相同 D.无法判定
    解析:选A E(ξ)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,
    E(η)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7.
    因为E(η)>E(ξ),故甲比乙质量好.
    4.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)等于( )
    A.1.25 B.1.5
    C.1.75 D.2
    解析:选C P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.1×0.15=0.015;
    P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22;
    P(X=2)=0.9×0.85=0.765.
    ∴E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
    5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)等于( )
    A.eq \f(126,125) B.eq \f(6,5)
    C.eq \f(168,125) D.eq \f(7,5)
    解析:选B 125个小正方体中8个三面涂漆,36个两面涂漆,54个一面涂漆,27个没有涂漆,∴从中随机取一个正方体,涂漆面数X的均值E(X)=eq \f(27,125)×0+eq \f(54,125)×1+eq \f(36,125)×2+eq \f(8,125)×3=eq \f(150,125)=eq \f(6,5).
    6.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________.
    解析:X的可能取值为3,2,1,0,
    P(X=3)=0.6,P(X=2)=0.4×0.6=0.24,
    P(X=1)=0.42×0.6=0.096,
    P(X=0)=0.43=0.064.
    所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064
    =2.376.
    答案:2.376
    7.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是________元.
    解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).
    设利润为η,则η=5ξ+1.6×(500-ξ)-500×2.5=3.4ξ-450,
    所以E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706(元).
    答案:706
    8.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq \f(2,3),得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=eq \f(1,12),则随机变量X的均值E(X)=________.
    解析:∵P(X=0)=eq \f(1,12)=(1-p)2×eq \f(1,3),
    ∴p=eq \f(1,2),易知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
    P(X=0)=eq \f(1,12),
    P(X=1)=eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2+2×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2=eq \f(1,3),
    P(X=2)=eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×2+eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2=eq \f(5,12),
    P(X=3)=eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2=eq \f(1,6),
    ∴E(X)=0×eq \f(1,12)+1×eq \f(1,3)+2×eq \f(5,12)+3×eq \f(1,6)=eq \f(5,3).
    答案:eq \f(5,3)
    9.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数X的分布列为
    商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润.
    (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
    (2)求Y的分布列及均值E(Y).
    解:(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,eq \x\t(A)表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
    P(eq \x\t(A))=(1-0.4)3=0.216,
    P(A)=1-P(eq \x\t(A))=1-0.216=0.784.
    (2)Y的可能取值为200元,250元,300元.
    P(Y=200)=P(X=1)=0.4,
    P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,
    P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2,
    因此Y的分布列为
    E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).
    10.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
    (1)求三种粽子各取到1个的概率;
    (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与均值.
    解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,
    则由古典概型的概率计算公式有P(A)=eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(3,10))=eq \f(1,4).
    (2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))=eq \f(7,15),
    P(X=1)=eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,8),C\\al(3,10))=eq \f(7,15),
    P(X=2)=eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,8),C\\al(3,10))=eq \f(1,15).
    所以X的分布列为
    故E(X)=0×eq \f(7,15)+1×eq \f(7,15)+2×eq \f(1,15)=eq \f(3,5).
    1.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,再重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为eq \f(2,3),则此人试验次数ξ的数学期望是( )
    A.eq \f(13,9) B.eq \f(14,9)
    C.eq \f(31,27) D.eq \f(32,27)
    解析:选A 试验次数ξ的可能取值为1,2,3,
    则P(ξ=1)=eq \f(2,3),P(ξ=2)=eq \f(1,3)×eq \f(2,3)=eq \f(2,9),
    P(ξ=3)=eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)+\f(1,3)))=eq \f(1,9).
    所以ξ的分布列为
    E(ξ)=1×eq \f(2,3)+2×eq \f(2,9)+3×eq \f(1,9)=eq \f(13,9).
    2.船队若出海后天气好,可获利5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海效益的均值是( )
    A.2 000元 B.2 200元
    C.2 400元 D.2 600元
    解析:选B 出海效益的均值为E(X)=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元).
    3.随机变量ξ的概率分布列如下表:
    尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同,则E(ξ)=________.
    解析:设“?”处的数值为t,则“!”处的数值为1-2t,所以E(ξ)=t+2(1-2t)+3t=2.
    答案:2
    4.某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
    (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
    (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
    解:(1)由已知,有P(A)=eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4)+C\\al(2,3),C\\al(2,10))=eq \f(1,3).
    所以事件A发生的概率为eq \f(1,3).
    (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
    P(X=0)=eq \f(C\\al(2,3)+C\\al(2,3)+C\\al(2,4),C\\al(2,10))=eq \f(4,15),
    P(X=1)=eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,3)+C\\al(1,3)C\\al(1,4),C\\al(2,10))=eq \f(7,15),
    P(X=2)=eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4),C\\al(2,10))=eq \f(4,15).
    所以随机变量X的分布列为
    随机变量X的数学期望
    E(X)=0×eq \f(4,15)+1×eq \f(7,15)+2×eq \f(4,15)=1.
    5.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
    (1)求小波参加学校合唱团的概率;
    (2)求X的分布列和数学期望.
    解:(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有Ceq \\al(2,8)=28种,当X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为
    P(X=0)=eq \f(8,28)=eq \f(2,7).
    (2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1.X=-2时,有2种情形;
    X=1时,有8种情形;
    X=0时,有8种情形;
    X=-1时,有10种情形.
    所以X的分布列为
    E(X)=(-2)×eq \f(1,14)+(-1)×eq \f(5,14)+0×eq \f(2,7)+1×eq \f(2,7)=-eq \f(3,14).ξ
    4
    a
    9
    10
    P
    0.3
    0.1
    b
    0.2
    ξ
    0
    1
    2
    3
    P
    0.7
    0.1
    0.1
    0.1
    η
    0
    1
    2
    3
    P
    0.5
    0.3
    0.2
    0
    ξ
    200
    300
    400
    500
    P
    0.20
    0.35
    0.30
    0.15
    X
    1
    2
    3
    4
    5
    P
    0.4
    0.2
    0.2
    0.1
    0.1
    Y
    200
    250
    300
    P
    0.4
    0.4
    0.2
    X
    0
    1
    2
    P
    eq \f(7,15)
    eq \f(7,15)
    eq \f(1,15)
    ξ
    1
    2
    3
    P
    eq \f(2,3)
    eq \f(2,9)
    eq \f(1,9)
    ξ
    1
    2
    3
    P



    X
    0
    1
    2
    P
    eq \f(4,15)
    eq \f(7,15)
    eq \f(4,15)
    X
    -2
    -1
    0
    1
    P
    eq \f(1,14)
    eq \f(5,14)
    eq \f(2,7)
    eq \f(2,7)
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