2023年中考数学复习专项专练专题13 平行四边形与特殊平行四边形及答案(四川版)

专题13 平行四边形与特殊的平行四边形

一、单选题

1．（2021·四川德阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（　　）

A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=CD=AB，即可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，

∵点E是CD的中点，

∴OE=DE=CE=CD=AB，故选项B不合题意；

∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．

2．（2022·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=5，AB=BC=3，，

根据折叠可知，，，，

∴在△AFD和△EFB中，

∴（AAS），

∴，，

设，则，

在中，，

即，

解得：，则，

∴，故C正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．

3．（2021·四川绵阳）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．

【详解】

解：四边形是正方形，

，，

∵在中，，

，

设，则，

根据勾股定理得：，

即，

解得：（负值舍去），

，

，

，

，

，

，，

，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．

二、填空题

4．（2020·四川凉山）如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于__________．

【答案】16

【解析】

【分析】

根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，

∴O为BD和AC的中点，

又∵，

∴，，E为AD的中点，

又∵OA=1，的周长等于5，

∴AE+OE=4，

∴，

∴的周长=．

故答案为16．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键．

5．（2021·四川内江）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．

【答案】##

【解析】

【分析】

取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解．

【详解】

如图，取的中点，连接，，

矩形，，，

，，

点是的中点，

，

，

，点是的中点，

，

在中，，

当点在上时，，

的最大值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．

6．（2020·四川凉山）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

如图，连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置，如图利用勾股定理计算，从而可得答案．

【详解】

解：如图，连接

则＞，

为定值，

当落在上时，最短，

　　　　　　　　　　图

如图，连接，

由勾股定理得：

即的最小值为：

故答案为：

　　　　　　　　　图

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题

7．（2022·四川成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．

(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．

(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．

【答案】(1)见解析

(2)或

(3)或

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；

（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；

（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．

(1)

解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，

∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠DEH=∠ABE，

∴△ABE∽△DEH；

(2)

解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，

∴AD=4DH，

设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，

∴DE=4x-a，

∵△ABE∽△DEH，

∴，

∴，解得：或，

∴或，

∴或；

(3)

解：∵矩形矩形，，

∴EG=nBE，

如图，当FH=BH时，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，

∴Rt△BEH≌Rt△FGH，

∴EH=GH=，

∴，

∵△ABE∽△DEH，

∴，即，

∴，

∴；

如图，当FH=BF=nBE时，

，

∴，

∵△ABE∽△DEH，

∴，即，

∴，

∴；

综上所述，的值为或．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．

8．（2021·四川德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．

（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；

（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）全等，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）可证B1是EE1的中点，则EB1=EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MN∥EB1，MN=EE1，即可证明；

（2）由S△EAF=S△FEC，可得AF=EC．然后通过SAS可证明结论．

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，

∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，

∴B1是EE1的中点，

∴EB1=EE1，

∵M、N分别是AE和AE1的中点，

∴MN∥EB1，MN=EE1，

∴EB1=MN，

∴四边形MEB1N为平行四边形，

（2）△AE1F≌△CEB1，

证明：连接FC，

∵EB1=B1E1=E1F，

∴=S△EAF，

同理，=SFEC，

∵=S△EB1C，

∴S△EAF=S△FEC，

∵AF∥EC，

∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．

∴AF=EC．

∵AF∥EC，

∴∠AFE=∠FEC，

在△AE1F和△CEB1中，

，

∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与性质等知识，证明S△EAF=S△FEC是解题的关键．