2023年中考数学复习专项专练专题02 整式与因式分解及答案(四川版)

专题02  整式与因式分解 

一、单选题

1．（2020·四川广安）下列运算中，正确的是（　 ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可．

【详解】

解：A．和不是同类项，不能合并，故错误；

B． ，故错误；

C．，故错误；

D．，故正确．

故选D．

【点睛】

此题考查的是整式的运算和二次根式的运算，掌握同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式是解题关键．

2．（2021·四川眉山）化简的结果是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简．

【详解】

解：原式

故答案是：B．

【点睛】

本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．

二、填空题

3．（2022·四川广安）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．

【答案】10

【解析】

【分析】

根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解．

【详解】

解：a2﹣b2 +2b+9

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．

4．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．

【答案】5

【解析】

【分析】

设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．

【详解】

解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，

∵“优美矩形”ABCD的周长为26，

∴4d+2c=26，

∵a=2b，c=a+b，d=a+c，

∴c=3b，则b=c，

∴d=2b+c=c，则c=d，

∴4d+d =26，

∴d=5，

∴正方形d的边长为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．

5．（2022·四川自贡）化简： ＝____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．

【详解】

=

故答案为

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．

6．（2021·四川内江）若实数满足，则__．

【答案】2020

【解析】

【分析】

由等式性质可得，，再整体代入计算可求解．

【详解】

解：，

，，

．

故答案为：2020．

【点睛】

本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为，是解题的关键．

三、解答题

7．（2021·四川凉山）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，

记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

，理由如下：

设，则．

．由对数的定义得

又

．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①___________；②_______，③________；

（2）求证：；

（3）拓展运用：计算．

【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2

【解析】

【分析】

（1）直接根据定义计算即可；

（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；

（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．

【详解】

解：（1）①∵，∴5，

②∵，∴3，

③∵，∴0；

（2）设logaM=m，logaN=n，

∴，，

∴，

∴，

∴；

（3）

=

=

=2．

【点睛】

本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．

8．（2022·四川凉山）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝

材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．

解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．

(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．

(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．

【答案】(1)；

(2)

(3)或

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；

（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；

（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．

(1)

解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，

∴，．

故答案为：；．

(2)

∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，

∴，，

∴

(3)

∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，

∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，

∴，，

∵

∴或，

当时，，

当时，，

综上分析可知，的值为或．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．